続・期待値と極限

【期待値と極限】
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9169824.html

【問題】
1つのサイコロを続けて投げて、それによってa_n (n=1, 2, ･･･)を以下のように定める。
出た目の数を順にc_1, c_2, ･･･とするとき, 1≦k≦n-1をみたすすべての整数kに対しc_k≦c_nならばa_n=c_n, それ以外のときa_n=0とおく。
ただし, a_1=c_1とする。

(1) a_nの期待値をE(n)とするとき, lim_(n→∞)E(n)を求めよ。

(2) a_1, a_2, ･･･ a_nのうち2に等しいものの個数の期待値をN(n)とするとき, lim_(n→∞)N(n)を求めよ。

【注】lim_(n→∞)はlimの下にn→∞が位置しているということです。
a_n等はaの右下の添字がnということです。


【解答】
(1) 任意の自然数nに対して、a_nの取り得る値は、a_n=1, 2, 3, 4, 5, 6である。

ここで、a_n=k　(k=0, 1, 2, ･･･, 6)となる確率をP_kとおくと、

k=1, 2, 3, 4, 5, 6のとき

P_k=(k/6)^(n-1)*(1/6)=(1/6)*(k/6)^(n-1)

k=0のときの確率は0を掛けて0になるので求める必要はない。

以上よりa_nの期待値E(n)は、

E(n)=Σ(k=1から6) k*P_k=Σ(k=1から6) (1/6)*(k/6)^(n-1)=Σ(k=1から6) (k/6)^n

求める期待値E(n)の極限は、

lim_(n→∞) E(n)=lim_(n→∞) Σ(k=1から6) (k/6)^n

=lim_(n→∞) {(1/6)^n+(2/6)^n+･･･+(5/6)^n+(n/6)^n}=1･･････(答)


(2) a_n=2の個数を求めるために、新たにX_l(l=1, 2, ･･･, )を定義する。

a_l=2のときX_l=1で、それ以外はX_l=0とすると、

Σ(l=1からn) X_lは、a_1, a_2, ･･･ a_nのうちの2になるものの個数を表す。

a_l=2となる確率P_2=(2/6)^(l-1)*(1/6)=(1/6)*(1/3)^(l-1)

それ以外の確率は0を掛けて0になるので求める必要はない。

X_lの期待値E(X_l)は、

E(X_l)=1*(1/6)*(1/3)^(l-1)=(1/6)*(1/3)^(l-1)

以上より

N(n)=E(Σ(l=1からn) X_l)=Σ(l=1からn) E(X_l)=Σ(l=1からn) (1/6)*(1/3)^(l-1)となる。

よって求めるN(n)の極限は、初項1/6、公比1/3の無限等比級数で収束条件を満たすので、

lim_(n→∞) N(n)=lim_(n→∞) Σ(l=1からn) (1/6)*(1/3)^(l-1)=(1/6)/(1-(1/3))=1/4･･････(答)


【質問】
考え方の間違いや減点されそうなところがありましたら添削お願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  【訂正】
  解答の一行目「任意の自然数nに対して、a_nの取り得る値は、a_n=1, 2, 3, 4, 5, 6である。」は、「任意の自然数nに対して、a_nの取り得る値は、a_n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6である。」の誤りでした。「a_n=0」が抜け落ちていました。
  
  【誤】　任意の自然数nに対して、a_nの取り得る値は、a_n=1, 2, 3, 4, 5, 6である。
  【正】　任意の自然数nに対して、a_nの取り得る値は、a_n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6である。

    補足日時：2016/02/06 10:10

No.2 ベストアンサー 回答者： w_letter 回答日時： 2016/02/06 16:15

おまたせしたブゥ

質問文をコピーして、添削するブゥ・・・・子ブたんになんかされたくないと言わないでブゥ


【解答】
(1) 任意の自然数nに対して、a_nの取り得る値は、a_n=1, 2, 3, 4, 5, 6である。←【朝と同じブゥ】

ここで、a_n=k　(k=0, 1, 2, ･･･, 6)となる確率をP_kとおくと、←【ここで変数をｋにすると、問題文のｋと混同するブゥ・・・ｊとかにしたほうがいいと思うブゥ】

k=1, 2, 3, 4, 5, 6のとき

P_k=(k/6)^(n-1)*(1/6)=(1/6)*(k/6)^(n-1)

k=0のときの確率は0を掛けて0になるので求める必要はない。←【日本語がおかしいブゥ・・・期待値に影響を与えない確率だから、無視したブゥ・・・なんか、k=0のときの確率が０と言ってるように読んでしまうブゥ】

以上よりa_nの期待値E(n)は、

E(n)=Σ(k=1から6) k*P_k=Σ(k=1から6) (1/6)*(k/6)^(n-1)=Σ(k=1から6) (k/6)^n

求める期待値E(n)の極限は、

lim_(n→∞) E(n)=lim_(n→∞) Σ(k=1から6) (k/6)^n

=lim_(n→∞) {(1/6)^n+(2/6)^n+･･･+(5/6)^n+(n/6)^n}=1･･････(答)←【あってると思うブゥ】


(2) a_n=2の個数を求めるために、新たにX_l(l=1, 2, ･･･, )を定義する。

a_l=2のときX_l=1で、それ以外はX_l=0とすると、

Σ(l=1からn) X_lは、a_1, a_2, ･･･ a_nのうちの2になるものの個数を表す。

a_l=2となる確率P_2=(2/6)^(l-1)*(1/6)=(1/6)*(1/3)^(l-1)

それ以外の確率は0を掛けて0になるので求める必要はない。

X_lの期待値E(X_l)は、

E(X_l)=1*(1/6)*(1/3)^(l-1)=(1/6)*(1/3)^(l-1)

以上より

N(n)=E(Σ(l=1からn) X_l)=Σ(l=1からn) E(X_l)=Σ(l=1からn) (1/6)*(1/3)^(l-1)となる。←【ここまで何をしているのかよくわからんブゥ・・・期待値N(n)は、a_n=２となる確率Ｐ_2の総和ブゥ・・・・したがって、N(n)=Σ(ｎ=1からn)Ｐ_2=Σ(ｎ=1からn)(1/6)*(2/6)^(n-1)=Σ(ｎ=1からn)(1/6)*(1/3)^(n-1)・・・・N(n)は、等比級数の和だから・・・・Sn=a*(1-r^n)/(1-r)の公式を利用すれば、N(n)=（1-(1/3)^n）/4になるブゥ】

よって求めるN(n)の極限は、初項1/6、公比1/3の無限等比級数で収束条件を満たすので、←【上でも書いたけど、期待値N(n)は、a_n=２となる確率Ｐ_2の総和だよ・・・・初項1/6、公比1/3の無限等比級数じゃなくて、初項1/6、公比1/3の等比級数の和、そして、その極値を求めるという問題ブゥ】

lim_(n→∞) N(n)=lim_(n→∞) Σ(l=1からn) (1/6)*(1/3)^(l-1)=(1/6)/(1-(1/3))=1/4･･････(答)←あってると思うブゥ


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
読みにくいと思うけど・・・・
子ブたんの感想、しろうとBooは、問題を難しく解釈して、解いているようだぁブゥ

子ブたんの回答あってるブゥ・・・・間違っていたら、ゴメンブゥ

遅くなって、ゴメンブゥ

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞【ここで変数をｋにすると、問題文のｋと混同するブゥ・・・ｊとかにしたほうがいいと思うブゥ】

ここは承知しました。

＞日本語がおかしいブゥ・・・期待値に影響を与えない確率だから、無視したブゥ・・・なんか、k=0のときの確率が０と言ってるように読んでしまうブゥ】

確かに誤解されてしまいそうですね。日本語に気を付けます。

＞期待値N(n)は、a_n=２となる確率Ｐ_2の総和

ここがまだ分かっていないです。
a_l=2のときX_l=1で、それ以外はX_l=0とおいたのは、Σ(l=1からn) X_lは、a_1, a_2, ･･･ a_nのうちの2になるものの個数を表すためで、これを使って期待値N(n)=E(Σ(l=1からn) X_l)=Σ(l=1からn) E(X_l)が求められる考えたためです。
無限等比級数と書いたのは、lim_(n→∞) N(n)はN(n)の極限のことだからです。

この問題の解法をネットで調べたら幾つか出て来たので、それらと合わせてもう少し考えてみます。またなにかありましたらお願いいたします。

お礼日時：2016/02/06 18:36

No.5 回答者： w_letter 回答日時： 2016/02/06 21:19

「確立」という誤記もあったブゥ

子ブたん・・・・恥ずかしぃブゥ

この回答へのお礼

子ブたん、こんばんは。
今日この問題をもう一度解いてみました。自力では解き切れませんでしたが、解説は完璧に理解できました。次は、完答目指して頑張ります。
五箇月近く経ってからのお礼に、ピッグりしてますね。あ、ビックリでした。子ブたんはピッグですね。

お礼日時：2016/06/24 23:23

No.4 回答者： w_letter 回答日時： 2016/02/06 21:16

コピペしてたから

Σ（k=1からｎ）、Σ(l=1からn)・・・・間違い

Σ（ｎ=1からｎ）が正しいですブゥ

この回答へのお礼

こんばんは。
ありがとうございます。
何か新しく分かったことがあれば、#5にコメントいたします。

お礼日時：2016/02/13 22:39

No.3 回答者： w_letter 回答日時： 2016/02/06 20:43

疑問に答えるブゥ

＞＞期待値N(n)は、a_n=２となる確率Ｐ_2の総和

＞ここがまだ分かっていないです。

そもそも期待値とは・・・・
ｎ個の事象の確立をｐ（ｎ）とするブゥ（ｎ＝１・・・ｎ）
また、各事象に対するポイントをｑ（ｎ）とするブゥ

すると、期待値Ｅ（ｎ）＝Σ（k=1からｎ）ｐ（ｎ）×ｑ（ｎ）で表されるですブゥ

簡単に言えば、事象毎に、その確立と、そのポイントとの積を足したものが期待値ですブゥ←公式を暗記するのではなく、その意味を理解するのが大事ですブゥ

上の問題にあてはめると、

ｐ（ｎ）が、a_n=２となる確率Ｐ_2

ｑ（ｎ）が、各事象のポイントですブゥ

そして、a_n=２となる確率Ｐ_2は、すでに（１）で求めています。
次に、ｑ（ｎ）は、a_n=２であれば、１個ということなので、全ての事象におけるポイントは１ですブゥ
すなわち、ｑ（ｎ）＝１ですブゥ

ということで、

期待値は、Σ(l=1からn) 確率Ｐ_2×ｑ（ｎ）＝Σ(l=1からn) 確率Ｐ_2←すなわち、確率Ｐ_2の総和なんですブゥ

なぜ、（１）の問題があるのか、（２）の解き方を誘導しているのですブゥ

数学の問題は、いろんな解き方ができるですブゥ
しろうとＢｏｏの解き方が間違っていると言ってるのではないのです・・・
もっと、簡単に解けるんじゃないか？ということだけですブゥ

＞a_l=2のときX_l=1で、・・・・中略・・・・はN(n)の極限のことだからです。

わかっているブゥ・・・・ただ、めんどちぃと思っただけですブゥ


なお、子ブたんは、まだ３歳ですので(２月１５日に４歳になるですブゥ）、こんなむずかしい数学の問題はとけないです。
じつは、子ブたんは、ウソツキオジサン。に頼んだですブゥ
ウソツキオジサン。は、受験なんか３０年以上前のことだから、おぼえとらんと言っていたですブゥ

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞なお、子ブたんは、まだ３歳ですので(２月１５日に４歳になるですブゥ）、こんなむずかしい数学の問題はとけないです。
じつは、子ブたんは、ウソツキオジサン。に頼んだですブゥ
ウソツキオジサン。は、受験なんか３０年以上前のことだから、おぼえとらんと言っていたですブゥ

子ブたんも4歳になるのですね。永遠の3歳ではないのですね。現実に永遠なんてものはないのですね。
ウソツキオジサン。は五十前後ということですね。受験戦争と言われた時代を乗り越えてきた人ですね。

僕には、数学の他に英語、国語、物理、化学の勉強と、それ以外にもやらなければならないことがたくさんありますので、時間を見て、あまり難しく考え過ぎないようにしてまた考えてみます。たまに息抜きもしますが。
このアカウントでも勉強と関係ない質問をしてしまったので、また新しく勉強専用のアカウントを作ります。そこでは完全に勉強や学問のことだけを質問いたします。
また何かありましたらここのお礼欄でコメントいたします。

ここでもまたフランスの数学者ガロアの言葉を借りて、「僕にはもう時間がない」

お礼日時：2016/02/06 23:37

No.1 回答者： w_letter 回答日時： 2016/02/06 09:52

まだ、ねむたいブゥ

＞【解答】
＞(1) 任意の自然数nに対して、a_nの取り得る値は、a_n=1, 2, 3, 4, 5, 6である。←とりあえず、「a_n=０」が抜けている

子ブたん、今日は少し余裕あるから・・・あとで回答するブゥ
でも、これから、すこしやらなきゃいけないことがあるから、夕方まで待っていて
子ブたんも、問題写して、ころころしながら、解いてみるブゥ

質問を削除するんじゃないブゥ・・・・書いたら、、、、「質問がありません」ってでたブゥ

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞＞(1) 任意の自然数nに対して、a_nの取り得る値は、a_n=1, 2, 3, 4, 5, 6である。←とりあえず、「a_n=０」が抜けている

本当だ。a_n=0が抜けていましたね。自然数という言葉に目を取られていたのだと思います。
では、よろしくお願いいたします。

お礼日時：2016/02/06 10:05