電磁気学での積分

永久磁石の磁界
のところで、次の積分が現れます。
４πΦ＝(C/l^2)∫(ζ/ｒ)dζdσ
ここで、
r^2＝(Zーζ)^2+p^2+ρ^2-2pρcos(φ-ψ)
dσ＝ρdρdψ
積分範囲は
ζ：－ｌ　から　+ｌ
ρ：０　から　a
ψ：０　から　２π

ρに関しては、ｒ＝ｔーρ　として2乗してコツことやれば計算できそうですが、
ψに関しては、どのように厚かったらよいのか分かりません。

ご指導よろしくお願いします。

講談社、ゾンマーフェルト　物理学講座　Ⅲ
電磁気学　95ページ

です。

質問者からの補足コメント

• すみません。失礼しました。
  
  図は、写真のようなものです。
  この図は、前の例題のものです。
  
  積分点の座標をζ、ρ、ψ、着目点の座標をz、p,φとする。
  積分点は円柱の中の点です。
  ψ、φはそれぞれの点のｘｙ平面への正射影と原点を結ぶ線分がｘ軸の正の向きとなす角。
  ρ、ｐは原点とそれぞれの正射影を結ぶ線分の長さ。
  ｚ、ζは積分点、着目点のｚ座標
  
  です。

  
    補足日時：2016/02/16 16:47

No.3 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2016/02/17 03:39

当方、ゾンマーフェルトの本は所持しておらず・・、

詳しい人マークには程遠いためご参考程度に・・!

r^2＝(Z-ζ)^2+p^2+ρ^2-2pρcos(φ-ψ)
∫(ζ/ｒ)dζdσ = ∫[-l→l]ζdζ∫[0→a]ρdρ∫[0→2π](1/ｒ)dψ
・・で
∫[0→2π](1/ｒ)dψの部分の積分の導出過程が知りたいという理解で良いだろうか・・!?
(若しも理解が違ってたらば、-------以下の記述は見なかった事にしてもらうと言う事で・・!)

------------------------------------------------------------------------------
∫[0→2π](1/ｒ)dψ =∫[0→2π]{1/√((Z-ζ)^2+p^2+ρ^2-2pρcos(φ-ψ))}dψ
で着目点部分の座標を常数と見ればφ=常数なので形式的にdψ = d(φ-ψ)と見做して
φ-ψ = tで置換えるとd(φ-ψ) = dt
与式 =∫[0→2π]{1/√((Z-ζ)^2+p^2+ρ^2-2pρcost}dt
= 2∫[0→π]{1/√((Z-ζ)^2+p^2+ρ^2-2pρcost}dt
（∵∫[0→2π]{f(cost)}dtの積分区間を分けて[π→2π]の積分区間でt = 2π-t'と置くことで得られる）

ここでまたt = π-2θと置き換えると
2・∫[0→π]{1/√((Z-ζ)^2+p^2+ρ^2-2pρcost}dt
= 4・∫[0→π/2]{1/√((Z-ζ)^2+p^2+ρ^2+2pρcos(2θ)}dθ
= 4・∫[0→π/2]{1/√((Z-ζ)^2+p^2+ρ^2+2pρ(1-2sin^2(θ))}dθ
= 4・∫[0→π/2]{1/√((Z-ζ)^2+(p+ρ)^2-4pρsin^2(θ)}dθ

k^2 = 4pρ/((Z-ζ)^2+(p+ρ)^2)と置けば1/√((Z-ζ)^2+(p+ρ)^2) = k/(2√(pρ))
1/√((Z-ζ)^2+(p+ρ)^2-4pρsin^2(θ) = k/(2√(pρ))・1/√(1-k^2・sin^2(θ))
与式 = 4k/(2√(pρ))・∫[0→π/2]{1/√(1-k^2・sin^2(θ))}dθ
= (2k/√(pρ))・∫[0→π/2]{1/√(1-k^2・sin^2(θ))}dθ
= (2k/√(pρ))・Ｋ(k)　　(Ｋ(k)：第一種完全楕円積分)

この回答へのお礼

ありがとうございました。

とても役立ちました。
ノートに書いて、ゆっくり計算してみます。

お礼日時：2016/02/17 07:21

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/02/16 17:51

ψの積分は「第一種の楕円積分」になるんでしょう。

教科書の前のほうに載ってないですか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
この本には書いてなかったのですが、
このシリーズには、物理数学の本もあるので
そちらにあるのかもしれません。

なお、
積分が完了してから、ｒ→∞　として考察すると思い込んで
積分をしようとしたのですが、
よく読んだら、逆でした
最初に、ｒ→∞　の時には、積分のときの条件を簡単に出来る
と考えて、簡単にした関数を使って積分を考えるというのが
本に書いてある事柄でした。

お礼日時：2016/02/17 07:19

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/16 15:22

変数の説明が皆無。

図も無しではきついですね。
本を持っている人限定の質問ですか?

この回答へのお礼

失礼しました。
図を補足しましたので、よろしくお願いします。

分からないのは、
分母の平方根の中に 2pρcos(φ-ψ) が入っていて
ψでの積分の方法が分かりません。

よろしくお願いします。

お礼日時：2016/02/16 16:51