図形

Question

三角形ＡＢＣの外接円のＡにおける接線にＢから垂線をおろし、接線との交点をＤとするとき、ＢＡがLＤＢＣを２等分線するならば、この三角形はどんな形か？

まず、問題を考えるまえにどんな図かわかりません。
おしえてください
三角形ＡＢＣの外接円までの図しか創造できません 

三角の上をＡとして、反時計回りでb,cとおくと
Ａに線（接線をひき）
Ｂから垂線をおろすといのがよくわかりません
どこの場所にＤがでますか？

hinebot · Accepted Answer

#6さんへ

なるほど。そういう方法があったんですね！
…と言いたいところですが、この方法は不可です。

#6さんの方法ですと、

△ＡＢＣの外接円の中心をＯとすると
ＯＡ＝ＯＣ（∵半径）なので
△ＯＡＣは二等辺三角形になるから
∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ    ---(ア)

∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＢ＋∠ＯＡＣ
∠ＯＡＤ＝∠ＯＡＢ＋∠ＤＡＢ
で接弦定理より
∠ＤＡＢ＝∠ＯＣＡ    ---(イ)
従って、
∠ＢＡＣ
＝∠ＯＡＢ＋∠ＯＡＣ
＝∠ＯＡＢ＋∠ＯＣＡ　∵(ア)より
＝∠ＯＡＢ＋∠ＤＡＢ　∵(イ)より
＝∠ＯＡＤ
ＡＤは円Ｏの接線であるから
ＯＡ⊥ＡＤ、すなわち∠ＯＡＤ＝90°
よって、∠ＢＡＣ＝90°

ということですよね？
ですが、良く見てください。
「ＢＡが∠ＤＢＣを２等分線するならば」という条件をどこにも使っていません。
つまり、この条件を使わずとも「△ＡＢＣは直角三角形」と言えてしまいそうですよね？これは明らかにおかしいです。

実は、重要なミスがあるのです。分かりますか？

>接弦定理より
>∠ＤＡＢ＝∠ＯＣＡ    ---(イ)

ここです。良く考えるとこれは必ずしも言えません。
接弦定理から言えることは正確には
∠ＤＡＢ＝∠ＢＣＡ
です。
同じじゃないか？、と思われるかもしれませんが
∠ＯＣＡ＝∠ＢＣＡ　とはどこにも書いてません。
（中心Ｏが、辺ＢＣ上にある保証はどこにもありません。）
これは△ＡＢＣが直角三角形であって初めて言えることであって、△ＡＢＣが直角三角形であるのは今証明しようとしているのですから、当然使えません。

なので、上記証明は成り立ちません。
（実は#8さんのやり方も同じ間違いをしています。）

ということで、この際ですから模範解答を示します。
-----------------------------------------------
△ＡＢＣと△ＤＢＡにおいて
条件「ＢＡが∠ＤＢＣを２等分する」より
∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＡ　---(1)
接弦定理より
∠ＢＣＡ＝∠ＤＡＢ　---(2)
(1),(2)より　対応する２つの角がそれぞれ等しいから
△ＡＢＣ∽△ＡＢＤ
よって、∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＡ＝90°
従って、△ＡＢＣは∠ＢＡＣ＝90°である直角三角形である。
-----------------------------------------------
余談ですが、「この三角形はどんな形か？」と聞かれたときは単に「直角三角形」とか「二等辺三角形」と答えるのではなく、直角三角形ならばどこが直角か、二等辺三角形ならば、どの辺とどの辺が等しいのか、ということを併せて回答するようにしましょう。

twins-mama · Answer

いろんな方法で皆さんが丁寧に解説されてますが、私は自分の頭の中に浮かんだことをそのまま書きますね。結局はどなたかの説明とダブるんですが…

(1)＞この三角形はどんな形か？
この表現で答えられるのは、直角三角形、二等辺三角形、正三角形、直角二等辺三角形のどれかでしょう。
辺の長さについての条件がないので、角度で攻めていこう、まずは△ABCの角について調べようと考えました。

(2)印を付ける
同じ長さ（この問題にはないですね）、同じ大きさの角に印を付ける、大きさがわかっている角は書き込む
ア）∠BAC=90°ということで直角マーク
イ）ＢＡが∠ＤＢＣを２等分するので　∠DBA=∠ABC
　　この二つの角にそれぞれ×印を付ける
ウ）接弦定理より∠ＤＡＢ＝∠ＯＣＡ
　　この二つの角にそれぞれ○印を付ける
　　（接弦定理を思いつくのは慣れの問題だと思いま　　　す。私も図形は苦手なので昔苦労しました）
　　
(3)△ABCでわかっていない角は∠BACだけ。
　ということは、∠BAC=180°-(×+○)で出せる。
　そして、×+○は△ADBのなかにあり、
　×+○=180°-90°=90°
　ということがわかる

といった具合です。はじめに書きましたが、他の方といってることは同じだけど考える順番が違うだけです。合同あり、相似あり、円の中心をつかうものあり…。個人的に他の方のいろんな考えを勉強できて面白かったです。

nabla · Answer

補足しときます。

今回はboku115さんの発想に沿う形で証明を展開しましたが、僕がはじめに考えた解法はhinebotさんと同じなんですね。

hinebotさんも僕も∠ＢＡＣが∠ＢＡＤと等しいことを証明しようとしましたが、boku115さんは∠ＯＡＤの直角と等しいことを証明しようとなさったのですね。
その証明方は僕が「ずれた角」と呼んでいるパターンで、入試頻出のものです。しっかりマスターしてください。

そう言いつつこの解法を思いつかなかった自分もまだまだ甘いですな。

nabla · Answer

>こんなに丁寧に説明してもらったんですけど
>本当にわかりません。
>
>参考書をみて考えたのですが
>
>外接円の中心をOとすると
>LOAB=LＯＡＢ，ＯＢＣ＝LＯＣＢ，LＯＡＣ＝LＯＣＡ
>
>ＢＤ⊥ＤＡ，ＯＡ⊥ＤＡ
>
>までしかわかりません。

もう答えは目前じゃないですか！
落城は近いぜ。（誰やねん）

いいですか？

現在の状態を整理しましょう。（図を書きながら行きましょう）
∠ＯＢＡ＝∠ＯＡＢ
∠ＯＣＡ＝∠ＯＡＣ
∠ＯＡＤ＝９０゜
この３つがポイントとなってきますよ。

その前になぜこの３つがポイントだと判断したかの根拠を書いておきましょう。

別にえらそうに言うほどの事じゃなくて単に今求めたいのが∠ＢＡＣについてなので、∠ＢＡＣと同じ部分にある角の条件を持ってきただけです。
しかしある一カ所に情報を集めるというのは数学の鉄則ですのでしっかり覚えておきましょう。一つの辺や角に情報を集めることで方程式をたてやすくなります。数学ができない人は適当に情報を処理しますが、できる人は方言うところを注意しながら情報の整理を進めています。

話がそれました。

次行きましょう。
それじゃあもう一回ポイントを出しておきますね。
∠ＯＢＡ＝∠ＯＡＢ
∠ＯＣＡ＝∠ＯＡＣ
∠ＯＡＤ＝９０゜

さて証明で行き詰まったら何をするんですか？
そう条件分析です。
何も証明のはじめにしかしてはいけないのではないですよ。方針が見えなければ何度でもやりましょう。（結論分析もあわせて）

さて今角についての条件がずいぶん出たのでこれらの条件をいじってやりましょう。

∠ＯＡＢ＋∠ＯＡＣ＝∠ＢＡＣ

おお！ついに欲しい角度と条件がリンクしたぞ！
しかしまだこれだけでは証明にはたどり着けないのでもう一つの条件もからめてみましょう。

∠ＯＡＤ＝∠ＯＡＢ＋∠ＤＡＢ

なんと幸せにも９０゜である∠ＯＡＤを分解した式が、９０゜であることを証明したい∠ＢＡＣを分解した式と非常によく似た形になったではないか！

違いは∠ＯＡＣと∠ＤＡＢだけだ。
こうなったらなんとしてでもこの２つの角度が等しいと言うことを示してやりましょう。

さて、ここでいきなり接弦定理を思い出すことにする。
なぜこれを使いたくなったのかというと、個人的には下記ＵＲＬのような図を見ると接弦定理を無性に使いたくなるんですね。
あなたもこういう問題を解くうちにそうなりますよ。（何か病気みたいでイヤですか？）

さてさて接弦定理を使ってやると
∠ＤＡＢ＝∠ＯＣＡという事が言えますね。

ところでさっきの条件に∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ
の条件があったのを思い出してください。

こうして欲しかった条件
∠ＤＡＢ＝∠ＯＡＣ
を手に入れて、ついに条件と結論を結ぶことができました。

あとはここまでの議論を体裁を整えて書けば問題なしですね。

参考URL：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/m3cir106.htm

hinebot · Answer

>こんなに丁寧に説明してもらったんですけど
>本当にわかりません

いいですか。No.4で考察したように
「方針３　他の直角三角形と合同（相似）であることを言う。」
で証明を進めます。
外接円の中心は、忘れてください。
∠ＯＢＡ=∠ＯＡＢ，∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ，∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ
なんて、考えてても証明できませんよ。

△ＡＢＣは、∠ＢＡＣ＝90°の直角三角形になりそうだな、と思ったんですよね。
ここで、もう一度図を見てください。
どこかに直角三角形はないですか？
ＢＤ⊥ＡＤですよね。つまり、∠ＢＤＡ＝90°
これを含む三角形は？

それと△ＡＢＣが相似であることを証明すれば、△ＡＢＣが直角三角形であることが言えます。

ついでに、使う相似条件は「対応する２つの角がそれぞれ等しい」です。
もう一度、じっくり考えてみてください。

hinebot · Answer

＃３さんがすばらしいアドバイスをしてくれてますね。

もうちょっとだけ考察をしてみましょう。
条件分析を思い出してください。
辺の長さに関する条件はあったでしょうか？
ないですよね。
ということで、辺の長さを用いる「方針２」は使えないことが分かります。
となると「方針１」か「方針３」です。

「方針１」の場合
点Aを通る直径と辺BCとの交点が円の中心であることが言えればいいんですが…
これは簡単にできそうにないですよね。

ということは、残るは「方針３」です。
＞方針３　他の直角三角形と合同（相似）であることを言う。

さて、最初に検証したように、条件に辺の長さに関することはないですから、証明すべきは合同ではなく相似だと見当がつきますよね。

ここまでくれば、もう一度書いた図と分析した条件をにらめっこしましょう。
どの三角形とどの三角形が相似であることがいえればいいでしょうか？
そのためには、何が言えればいいでしょうか？

※これを言っちゃうと殆ど答えですが、「接弦定理」を使います。

では頑張ってください。

nabla · Answer

直角三角形であることの証明をしてみましょう。

さて証明の前に条件を確かめておきましょう。
条件分析は証明の基本なので、きっちりやりましょう。（これをやるとずっと方針が見えやすくなりますよ）

条件
１　LBDA=90゜
この条件はこれ以上別の条件には結びつきそうにないですね。

２　LDBA=LABC
さてここで２つの角が等しい条件が出てきました。
２つの角が等しいと聞いたら次の事を連想してください。

合同や相似はないか？
二等辺三角形の可能性は？

さらに角の二等分線であれば、内心などが重要になります。

今回の場合ここから直ちに何か言えるわけではないですが、証明を進めていくうちにさらに等しい角や等しい辺が出てきて合同や相似条件に結びつく可能性は高そうです。

ここで条件分析終わり。
次は結論分析に行きます。こっちはさらに重要です。結論から行くと「何処まで証明すればあとはいけるか？」というのがよく分かります。迷路なんかでゴールから行くのと同じですね。

結論
△ABCは角Aが90゜の直角三角形。

さてこのままではどう証明すればいいのか分からないんでこれを証明するためには何を証明できればいいのかを考えてみましょう。

方針１　ＢＣが外接円の直径だという。
最もベタな線ですね。円に内接した三角形が直角三角形であることを言う場合の常套手段です。

方針２　三平方の定理の逆を使う。
結構特殊ではありますが、以外と使います。長さに関する条件が多いときは要注意ですね。

方針３　他の直角三角形と合同（相似）であることを言う。
意外な盲点ですがかなり頻出です。「この角とあの角が等しいことを証明しろ」というパターンの特殊形と見るわけです。

さてだいたいこれぐらいですね。
今回はどの条件が使えそうですか？

ここからは自分で考えてみてください。

pbforce · Answer

Aにおける接線は分かりますよね？
そこから点Bに対して線を引きますが、その線はAにおける接線に垂直に引きます。
つまり外接円の中心と点Aを結ぶ線に平行な直線になります。

reply · Answer

まずあなたから見て水平に直線を引いてみてください。
その直線の上に直線に接するように円を置いてください。
線と円の接点をＡとしてください。
円の上のどこでもいいので、適当な場所をＢ，Ｃとしてください。
Ｂから線へ向かって垂直に直線を引いてください。
このとき出来た交点がＤになります。

LＤＢＣは角度ＤＢＬですね。

図形

#6さんへ

いろんな方法で皆さんが丁寧に解説されてますが、私は自分の頭の中に浮かんだことをそのまま書きますね。

補足しときます。

>こんなに丁寧に説明してもらったんですけど

>こんなに丁寧に説明してもらったんですけど

＃３さんがすばらしいアドバイスをしてくれてますね。

この回答への補足

直角三角形であることの証明をしてみましょう。

この回答への補足

Aにおける接線は分かりますよね？

この回答への補足

まずあなたから見て水平に直線を引いてみてください。

この回答への補足

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