f(x)＞0とはどういうグラフなのですか？グラフが下に凸の場合グラフが上に凸の場合それぞれ教え

f(x)＞0とはどういうグラフなのですか？
グラフが下に凸の場合
グラフが上に凸の場合
それぞれ教えてください！

馬鹿な質問なんですが…

質問者からの補足コメント

• 分かりづらい質問で申し訳ありませんでした。わからない問題を聞いてしまった方が早かったですね(._.) 高１数学です。
  
  f(x)=ax2乗＋4x＋aが次の条件を満たすとき、定数aの範囲を求めよ。
  (1)xのすべての値に対してf(x)＞0となる。
  (2)f(x)＞0となるxが存在する。
  
  この２問について。
  (1)の解答では、a=0のときと、a≠0のときの場合に分けています。
  (２)の解答では、a=0のとき、a＞0のとき、a＜0のとき、と3通りに分けてます。
  
  なぜこういう場合わけをするんだろう、とずーっと考えるうちになんだか訳がわからなくなってしまいまして、
  f(x)＞0とは？a＜0？？
  と、パニック状態です…笑
  
  (1)はなぜ、(2)のような分け方にしないのですか？
  それぞれの場合において、どのような形のグラフなのかイメージできません。

    補足日時：2016/04/05 17:38

No.5 ベストアンサー 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/04/05 19:08

これは、二次曲線グラフの書き方に関する問題ですね。

　平方完成させると、
f(x)=aｘ²+4x+a
=a(ｘ²+(4/a)x+1)
=a(x+2/a)²+a-4/a

（1）最後の4/aというものはaが０の時は計算できませんので、別途考える必要があるためです。　ちなみにa=0であればf(x)=4xですので、すべてのｘで条件を満たせません。　さらにa<0の場合は下に伸びていく（上に凸）なグラフですので、条件を満たせません。　なので、a>0で原点がｘ軸より上にあればすべてのｘにおいてf(x)>0になります。

なので、
a>0 と　a-4/a>0 の双方を満たす範囲のaを求めればよいわけです。
a²-4>0
(a+2)(a-2)>0
となりますから、a>2ということになります。

（2）の場合は、一部でもｘ軸の上にグラフがかかっていればよいので、上に凸なグラフも含みますので、a<0の場合も考慮に入れなくてはいけないということになります。
a<0の場合は
a²-4>0 ⇒(a+2)(a-2)<0
ここの不等式の向きが逆になるのがポイントです。

この回答へのお礼

ありがとうございます～！！
とっても分かりやすいです！！
助かりました本当に！
他にも解答してくださった皆様、
ありがとうございました！！

お礼日時：2016/04/05 20:59

No.8 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/04/05 19:44

（2）はやっぱり、

a-4/a>0 でa<0で考えるなら、a²-4<0ですね。
(a-2)(a+2)<0,a<0ですから、

a<-2、-2<a<0　の範囲で(a-2)(a+2)<0を満たすかを考えないといけないことになりますね。　ＡNo.6は無視してください。　なので、

（2）は（1）の範囲に加えて、-2<a≦0になります。

なんだか、混乱させしまっていて、本当にすみません。

No.7 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/04/05 19:15

あ、あと、

（2）では、a=0の時も条件は満たしていますので、、、

何度も申し訳ありません。

No.6 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/04/05 19:12

違った、、

×　a²-4>0 ⇒(a+2)(a-2)<0
×　ここの不等式の向きが逆になるのがポイントです。

(a+2)(a-2)>0
a<0,a+2<0で(a-2)<0のケースも入れるということです。

すみません。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2016/04/05 17:24

No.1&2です。

f(x)＞0　　　（１）

という式自体には、「グラフ」という概念はなく、単なる「x に関する不等式」です。

これを解く解き方のひとつとして、
　　y = f(x)
のグラフを書いて、そのグラフ（曲線）の y>0 が存在する部分に対応する「xの範囲」が、不等式（１）を満たす x の範囲である、というものがあります。

そのグラフのことをいっているのだと思いますが、違いますか？

それは
・y = f(x) のグラフが二次曲線で下に凸の場合
・y = f(x) のグラフが二次曲線で上に凸の場合
だろうが、
・y = f(x) のグラフが三次曲線
・y = f(x) のグラフが三角関数
だろうが、f(x) がどんな関数でも使えます。

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/04/05 16:37

集合なら：　y=0 を点線で引いて上半分を塗りつぶしたもの。

f'(x)＞０　（∀ｘ∈Ｒ）　の話なのであれば、
f(x)は絶えず増え続けるグラフになる（直線であれば、y=xのような右上がりのグラフ）

下に凸とか上に凸とかはちょっと意味が分かりません。
どの学年のあたりの数学なのか教えていただければ、もしかしたらもう少しまともな回答ができるかもしれません。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/04/05 12:31

No.1です。

補足します。

y=f(x) というグラフは、x に適当な値を入れて y の値を計算し、「x-y」の2次元のグラフ用紙にプロットして、そのプロット点を滑らかにつないでみてください。滑らかにつながらないようなら、その間を埋める「x の適当な値」を追加して計算してプロットを追加してみてください。

これが「グラフを書く」基本です。

自分でグラフを書けなければ、「どういうグラフか」は分かりません。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/04/05 12:17

f(x)＞0 というグラフは書けません。

y=f(x) というグラフを書いて（その形は f(x) の内容に応じて千差万別）、その「y>0 の領域（x軸よりも上の部分）」が求めるものになります。