極限 証明

0<x<1のとき
lim(n→無限)nx^n=0
を示すにはどうすればよいですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/04/08 20:37

logをとって

f(n)=lognx^n=logn+nlogx
f'(n)=1/n+logx→logx<0 (n→∞)

従ってf(n)は十分大きなnで単調減少となるため、
nx^n→0 (n→∞)

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2016/04/13 07:59

No.5 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/04/09 09:16

ガンマ関数のように、階乗を実数に拡張することもできる。

整数ではなく実数であると扱って、最終的に整数とみなせば結果は同じだと思うけどね。

No.4 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/04/09 09:13

No.3さん、差分の極限が微分です。

指摘するなら全て論理を組み上げて回答すればいい。

No.3 回答者： nao4230 回答日時： 2016/04/08 22:36

No2さん

nは整数であると解釈しますと整数で微分することはおかしいのでは？ｎが実数だとすると「f'(n)<０」は自明ではありません。ｘ→1の場合logx→-0（負側から近づく）1/n→+0（正側から近づく）なので任意の0<x<1に対してf'(n)<０となる実数nが存在することを示さないと、この論理は成り立ちません。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/04/08 12:00

r=(1/x)-1　とおきます。

r>0となります。
x=1/(1+r)　となります。

n*x^n=n*{1/(1+r)}^n=n/(1+r)^n
となります。

2項定理からn>1で
(1+r)^n=1^n+n*1^(n-1)*r+{n(n-1)/2}*n^(n-2)*r^2+..>{n(n-1)/2}*r^2
となります。

この逆数をとってnをかけると
0<n/(1+r)^n<n/[{n(n-1)/2}*r^2]
となり、このn→∞をとるとはさみうちの定理から0に収束することがわかります。