弾性衝突の力積

次の問題の解き方がわかりません。
誰か、教えてくれませんでしょうか？

水平面上で一直線上を運動している物体A（質量Ma）が、同じ直線上に静止している物体B（質量Mb）に、速さｖで弾性衝突した。（A,Bと水平面との摩擦は無視出来る）
　　　　A→ｖ　　　　　　　B　　　　　
　　　　Ma　　　　　　　　Mb
このとき、衝突の間にAがBから受けた力積が、－２MaMbｖ／（Ma＋Mb）で表わされることを示せ。

No.2 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/05/23 05:11

定義通りの問題。

衝突後の速度を計算して、Aの衝突前後の運動量の差を出せば良い。
非常に簡単な問題です。
力積の定義を理解できていないのではないかな？
もっと勉強しましょう。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/22 18:55

まず、基本は「運動量保存」です。

衝突後の物体Ａ、Ｂの速度を va2, vb2 とすると
　　Ma*v + Mb*0 = Ma*va2 + Mb*vb2　　（１）
です。
　これは、弾性衝突でも、非弾性衝突でも成立します。

（注）なぜなら、ニュートンの運動方程式から、
　　F = ma = m*dv/dt = d(mv)/dt　　　(A)
であり、衝突のように「2つの物体だけからなる系」の場合には、外部からの力は働いていないので、Ｆ＝０であり
　　 d(mv)/dt = 0
つまり
　　mv = const
です。これが「運動量保存」です。

　また、「弾性衝突」ですから、衝突係数を e とすると
　　e = -( va2 - vb2 ) / ( v - 0 ) = 1
であり
　　vb2 = v + va2　　　（２）
ということになります。

　（２）を（１）に代入すれば
　　Ma*v = Ma*va2 + Mb*(v + va2)
　整理して
　　va2 = v*(Ma - Mb) / (Ma + Mb) 　　　（３）

　（１）は、「ＡとＢからなる系」ですが、物体Ａだけに着目すれば、速度は v → va2 に変化しているので、運動量の変化は
　　Δp = Ma * ( va2 - v )
です。
　これに（３）を代入すれば
　　Δp = Ma * [ v*(Ma - Mb) / (Ma + Mb) - v ]
　　　 = Ma * v * [ (Ma - Mb) - (Ma + Mb) ] / (Ma + Mb)
　　　 = Ma * v * (-2Mb) / (Ma + Mb)
　　　 = -2Ma * Mb * v / (Ma + Mb)

　「衝突で受ける力積」とは、要するに「運動量の変化に等しい」ということですから、この Δp が「物体AがBから受けた力積」ということです。

（注）力積は
　　F * Δt
です。上の(A)式で
　　F = Δ(mv) / Δt
ですから、
　　F * Δt = Δ(mv) = Δp
ということです。

この回答へのお礼

ご丁寧な説明、ありがとうございます。
よくわかりました。
解けずに困っていたので助かりました！

お礼日時：2016/05/22 21:46