物理です x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を 求める問題で重心のx座標を

物理です
x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を
求める問題で重心のx座標を
1/S∮(0→1)x√1-x^2となっているのですが
なぜこうなるのかがよく分かりません
解説お願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/25 00:29

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和＝全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

　与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、ｘ座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
　ΔS = √(1 - x)*dx
です。
　この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
　　ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従って、「微小部分の重量のモーメントの総和」は
　　∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx 　　　（１）
です。

　これに対して、「全重量が重心位置にある場合のモーメント」は、重心の x 座標を x0 とすると
　　ρ*S*x0　　　　　（２）

（１）と（２）が等しくなるので
　　ρ*S*x0 = ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx

　従って
　　x0 = (1/S)∫[0~1] x√(1 - x) dx

　S は 1/4 円なので
　　 S=(1/4)パイr^2 = パイ/4
ですね。

この回答へのお礼

重力加速度gは省略したという事ですか？

お礼日時：2016/07/25 02:40

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/25 08:53

No.2です。

＞重力加速度gは省略したという事ですか？

するどい！　忘れていました。
「密度 ρ」をかける段階で、「ρg」をかけないといけませんね。結局は両辺に含まれるので消えますが。
部分的に減点ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2016/07/25 13:10

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/07/24 23:56

>1/S∮(0→1)x√1-x^2

もっと正確に写さないと駄目ですよ。

まず、Sは 円の1/4 の面積(π/4)ですよね。
円の1/4をdx幅で細長く切ると、その面積は

dS=√(1-x^2)dx

従って重心のx座標は、
(1/S)∫[0→1]xdS= (1/S)∫[0→1]x√(1-x^2)dx

x=cosθで置換積分すれば

4/(3π)