高校数学1の問題

(1)｛(1+√5)/2｝^3の小数部分aを求めよ
(2) a^4+5a^3+4a^2+4aの値を求めよ

この2つの問題がわかりません！
回答・解説お願いしますm(_ _)m

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/08/01 09:48

(1) {(1+√5)/2}^3 の整数部分を A, 小数部分を a とすると、

　　{(1+√5)/2}^3 = A + a (0≦a<1)
従って
a = {(1+√5)/2}^3 - A
　= [ (1 + 2√5 + 5)(1 + √5)/8 ] - A
　= ( 1 + 2√5 + 5 + √5 + 10 + 5√5 )/8 - A
　= (16 + 8√5)/8 - A
　= 2 + √5 - A

0≦a<1 であることから
　0 ≦ 2 + √5 - A < 1
よって
　1 + √5 < A ≦ 2 + √5

2(=√4)<√5<3(=√9) であることから
　3 < A < 5
より、A は整数であるから
　A = 4

従って
　a = -2 + √5

(2) 問題文には書かれていませんが、上記の a について与式がいくつになるか、という問題でしょうか。(2)が独立問題であれば答は出ません。

　上記の a を直接代入すれば答えは出ますが、上の a の形から「 a + 2 」を作ると計算が楽になりそう、と当たりをつけて変形して
　a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 4a
= (a^4 + 4a^3 + 4a^2) + a^3 + 4a
= a^2(a^2 + 4a + 4) + a(a^2 + 4a + 4) - 4a^2
= a^2(a + 2)^2 + a(a + 2)^2 - 4a^2
= a^2(√5)^2 + a(√5)^2 - 4a^2　　　　←a + 2 = √5 を代入
= a^2 + 5a
= 4 - 4√5 + 5 - 10 + 5√5　　　　←a = -2 + √5 を代入
= -1 + √5

No.1 回答者： tosa0824 回答日時： 2016/08/01 06:12

(1) この式は計算していくと簡単な式になります。

{(1+√5)/2}^3
= (1+√5)(1+√5)(1+√5)/8
= (1+2√5+5)(1+√5)/8
= (6+2√5)(1+√5)/8
= (6+6√5+2√5+10)/8
= (16+8√5)/8
=2+√5
≒2+2.236 = 4.236。
よって、与式の小数部分は2+√5から4を引いた数である。つまり、
与式の小数部分は、 2+√5 -4 = √5 - 2。

(2)　(a+2)^2= a^2 + 4a + 4を使うと簡単に計算できます。
a^4+5a^3+4a^2+4a
= a^2(a^2 + 4a + 4) + a^3 + 4a
= a^2 (a+2)^2 + a(a^2 + 4a + 4) - 4a^2
= a^2 (a+2)^2 + a(a+2)^2 - 4a^2

(a+2)^2 = (√5 - 2 + 2)^2 = 5であるので、
与式
= a^2 x 5 + a x 5 - 4a^2
= a^2 + 5a
= a^2 + 4a + a + 4 - 4
= a^2 + 4a + 4 + a - 4
= (a+2)^2 + a - 4
= 5 + a - 4
= 1 + a
= 1 +(√5 - 2)
= √5 - 1