数学 12番教えてください。解の公式を使うのはわかるんですが、どう工夫するのですか？

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12番教えてください。解の公式を使うのはわかるんですが、どう工夫するのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/20 22:31

使うのは、解の公式というより、解と係数の関係かなあ。

(1)
x = α または β のとき、x^2 + 2x +3 = 0 より
x^3 + x^2 + 1 = (x^2 + 2x + 3)(x - 1) + (- x + 4) が成り立つ。
よって、(α^3 + α^2 + 1)(β^3 + β^2 + 1) = (- α + 1)(- β + 1)
= (1 - α)(1 - β). この式は、
(x - α)(x - β) すなわち x^2 + 2x + 3 に x = 1 を代入したものである。
答えは、1^2 + 2・1 + 3 = 6.

(2)
x = α または β または γ のとき、x^3 - x^2 - 4x - 1 = 0 より
x^2 + 1 = x^3 - 4x が成り立つ。よって、x + 1/x = x^2 - 4. よって、
(α + 1/α)(β + 1/β)(γ + 1/γ) = (α^2 - 4)(β^2 - 4)(γ^2 - 4)
= - (4 - α^2)(4 - β^2)(4 - γ^2)
= - (2 - α)(2 + α)(2 - β)(2 + β)(2 - γ)(2 + γ)
= (2 - α)(2 - β)(2 - γ)・(-2 - α)(-2 - β)(-2 - γ).
(2 - α)(2 - β)(2 - γ) は、
(x - α)(x - β)(x - γ) すなわち x^3 - x^2 - 4x - 1 に x = 2 を代入したもの。
(-2 - α)(-2 - β)(-2 - γ) は、x^3 - x^2 - 4x - 1 に x = -2 を代入したもの。
以上より、答えは (2^3 - 2^2 - 4・2 - 1)((-2)^3 - (-2)^2 - 4(-2) - 1) = 25.

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/10/21 13:51

（１）次数下げが工夫の１つです

(x³+x²+1)÷(x²+2x+3)=(x-1)あまり-x+4だから
割られる数＝商ｘ割る数＋あまりに当てはめると
(x³+x²+1)=(x²+2x+3)(x-1)+(-x+4)・・・①
2次方程式の解がα、βだから
α²+2α+3=0
従って①にx=αを代入すると
(α³+α²+1)=(α²+2α+3)(α-1)+(-α+4)=0-α+4=-α+4 ←←←これでαの次数が下がりました
同様に
(β³+β²+1)=-β+4
よって(α³+α²+1)(β³+β²+1)=(-α+4)(-β+4)=αβ-4(α+β)+16
解と係数の関係から
α+β=-2
αβ=3
だから
(α³+α²+1)(β³+β²+1)=αβ-4(α+β)+16=3+8+16=25

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/10/21 19:43

ｓｘ²＋ｔｘ＋ｕ＝０の解がαとβだと。

その意味するところは、
ｓｘ²＋ｔｘ＋ｕ＝ｓ(ｘ－α)(ｘ－β)
なのだけれど、これが理解できるでしょうか？
右辺を展開すると、
ｓｘ²＋ｔｘ＋ｕ＝ｓｘ²－ｓ(α＋β)ｘ＋ｓαβ
となり、すると、
ｔ＝ｓ(α＋β)、ｕ＝ｓαβ
が判るはずです。
これが解と係数との関係。
上記が解り難いなら、解の公式の2解をｓｔｕで表し、それについて、α＋βとαβを具体的に計算してみると良いでしょう。

これが解っていると、まぁ最悪、解の公式を代入すれば良いし、極力解と係数との関係でそれを減らす方が良いよなぁ、と判ります。

解と係数との関係は、三次式でも同様のことが言えるので、
(ｘ－α)(ｘ－β)(ｘ－γ)＝ｘ³－(α＋β＋γ)ｘ²＋(αβ＋βγ＋γα)ｘ－αβγ＝ｘ³－(１)ｘ²＋(－４)ｘ
－(１)
(α＋β＋γ)＝１
(αβ＋βγ＋γα)＝－４
αβγ＝１
ここでひょっとすると、断りを入れておいた方が良いかも知れない。
α,β,γのうちの何れかが０である場合は、αβγ＝０となるはずだが、αβγ＝１≠０だし、従って、α,β,γの何れかが０となることも無い。と。
(１／αβγ)(α²＋１)(β²＋１)(γ²＋１)
＝(１／１)(α²＋１)(β²＋１)(γ²＋１)
=(α²β²γ²)＋(α²β²＋β²γ²＋γ²α²)＋(α²＋β²＋γ²)＋１

ここで、
α²β²γ²＝(αβγ)²＝１

(α²β²＋β²γ²＋γ²α²)＝(αβ＋βγ＋γα)²－αβ(βγ＋γα)－βγ(αβ＋γα)－γα(αβ＋βγ)
＝(αβ＋βγ＋γα)²－αβγ(β＋α)－αβγ(β＋γ)－αβγ(α＋γ)
＝(αβ＋βγ＋γα)²－αβγ(β＋α＋β＋γ＋α＋γ)
＝(αβ＋βγ＋γα)²－２αβγ(α＋β＋γ)
＝～～
(何となく計算してみた。力業。何とかなるでしょ、たぶんって。)

α²＋β²＋γ²＝(α＋β＋γ)²－α(β＋γ)－β(α＋γ)－γ(α＋β)
＝(α＋β＋γ)²－(αβ＋γα＋αβ＋βγ＋γα＋βγ)
＝(α＋β＋γ)²－２(αβ＋βγ＋γα)
＝～～
(これも。)

すると、
(α²β²γ²)＋(α²β²＋β²γ²＋γ²α²)＋(α²＋β²＋γ²)＋１
＝～～

もうちょっと楽な計算方法があるかもね。