微分方程式の一般解を求める問題で分からない箇所があるため、教えていただけないでしょうか？ とある問

微分方程式の一般解を求める問題で分からない箇所があるため、教えていただけないでしょうか？

とある問題の解説を読んでおり、
以下の微分方程式
y' = x^2 + y^2/ 2x^2 (ただし x ≠ 0)
の一般解が
y = x - 2x / ln |x| + C
となるところまでは理解できたのですが、このとき(x ≠ 0, ± e ^-c)という但し書きが、突然出て来て混乱しています。

というのも、±e^-cというのが問題には書かれておらず、一体全体どこから出てきた数なのかが分からないのです。

大変恐縮なのですが、どなたかご教示いただけますと幸いです。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/16 12:38

＞ただやはり、どこをこねくりまわしたら±e^-cという数字が導きだせるのかというのがわかりません…( ；∀；)

一般解は、式を正確に書けば

　y = x - 2x / (ln |x| + C)

ではありませんか？

　分母の
　　ln |x| + C ≠ 0
より
　　ln |x| ≠ -C
　　|x| ≠ exp( -C )
　　x ≠ ±exp( -C )
ということでは？

この回答へのお礼

yhr2さま

ご指摘の通りで、かっこが抜けていました。

どうも所々知識が及ばず、問題が解けていないようですが、解説いただいたおかげですっきりしました！

丁寧なご説明ありがとうございました。

お礼日時：2016/09/20 20:02

No.5 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/09/16 21:26

えっと, 一般解を求める問題でしたね.

y = y(x) = x は特異解だから, 該当しません.
失礼しました.

この回答へのお礼

二度にわたり回答いただきありがとうございます！
お陰さまで理解できました。

どうも私は基礎知識がところどこ抜け落ちていてダメですね(´・ω・`)

お礼日時：2016/09/20 20:04

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/09/16 20:47

私はその模範解答, 間違っているというか, 足りないと感じています.

y = xz と置いてから, z' = [(z - 1)^2]/(2x) と変形するまではいいとして,
何の断りもなく両辺を (z - 1)^2 で割ったのだとしたら, 軽率じゃないでしょうか.
きちんと断った上で割ったのであれば, -2x = (y - x)(ln|x| + C) であることから,
x ≠ ±e^(-C) であることは, 受け入れられるのではないでしょうか.

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2016/09/16 06:53

>ただやはり、どこをこねくりまわしたら±e^-cという数字が導きだせるのかというのがわかりません…

>の一般解が
>y = x - 2x / ln |x| + C
>となるところまでは理解できたのですが、
一般解を求める途中で、ln |x| + C　で両辺を割る部分があったと推測されます。
この割り算をする時点で、x ≠ ± e ^-c　の条件が追加されたということでは？

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。

ln|x| ＝ - C
という単純な式が思い付きませんでした。

どうにも基礎的な知識が抜けていてダメですね。自分にショックです。

お礼日時：2016/09/20 20:06

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/09/16 00:05

分母が 0 になったら困るってことかなぁ.

この回答へのお礼

こんな深夜に回答ありがとうございます。

確かに、分母が0になるのを避けるためのようですね！！

ただやはり、どこをこねくりまわしたら±e^-cという数字が導きだせるのかというのがわかりません…( ；∀；)

お礼日時：2016/09/16 00:36