どこかの大学の入試問題だったらしいんですが…
「区別のつかないn個のボールを、区別のつかない3つの箱に入れるとき、その入れ方は何通り?」
ボールも箱も区別アリ、ボールのみ区別アリ、箱のみ区別アリ、の三問は解けたんですが、最後のこの問題が解けません。誰か教えて下さい。

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A 回答 (8件)

No.4の回答はやっぱり違いました。



箱に区別がつかないということは、箱に区別がつく状態から考えると、
(0,0,1)と(0,1,0)、(1,0,0)は同じと見る、ということです。
上のように2つが同じで、1つが異なる場合は3通りずつあり、
すべてが異なる場合は3!=6通りずつあり、
すべて同じ場合は1通りしかないことから考えていきます。

n=6m-5のとき
 3つの箱に区別があるとすると(6m-3)(6m-4)/2=18m^2-21m+6 通り
 このうち、a=b≠c となるものを考えると、
 2a+c=6m-5 より、2a=6m-5-c この等式を満たす整数cは、c=1,3,5,…,6m-5 の3m-2通り
 実際にはcでなくてもよいから、9m-6通りある。
 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを6で割ればよい。
 よって、3m-2+(18m^2-21m+6-9m+6)/6=3m^2-2m 通り

n=6m-4のとき
 3つの箱に区別があるとすると(6m-3)(6m-2)/2=18m^2-15m+3 通り
 このうち、a=b≠c となるものを考えると、
 2a+c=6m-4 より、2a=6m-2-c この等式を満たす整数cは、c=0,2,4,…,6m-4 の3m-1通り
 実際にはcでなくてもよいから、9m-3通りある。
 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを6で割ればよい。
 よって、3m-1+(18m^2-15m+3-9m+3)/6=3m^2-m 通り

n=6m-3のとき
 3つの箱に区別があるとすると(6m-2)(6m-1)/2=18m^2-9m+1 通り
 a=b=cとなる1通りを除くと18m^2-9m 通り
 このうち、a=b≠c となるものを考えると、
 2a+c=6m-3 より、2a=6m-3-c この等式を満たす整数cは、c=1,3,5,…,6m-3 の3m-1通りだが、c=2m-1のときはa=b=cとなるので、これを除いた3m-2通り。
 実際にはcでなくてもよいから、9m-6通りある。
 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを6で割ればよい。
 よって、1+(3m-2)+(18m^2-9m-9m+6)/6=3m^2 通り

n=6m-2 のとき
 3つの箱に区別があるとすると3m(6m-1)=18m^2-3m 通り
 このうち、a=b≠c となるものを考えると、
 2a+c=6m-2 より、2a=6m-2-c この等式を満たす整数cは、c=0,2,4,,…,6m-2 の3m通り
 実際にはcでなくてもよいから、9m通りある。
 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを6で割ればよい。
 よって、3m+(18m^2-3m-9m)/6=3m^2+m 通り

n=6m-1 のとき
 3つの箱に区別があるとすると3m(6m+1)=18m^2+3m 通り
 このうち、a=b≠c となるものを考えると、
 2a+c=6m-1 より、2a=6m-1-c この等式を満たす整数cは、c=1,3,5,…,6m-1 の3m通り
 実際にはcでなくてもよいから、9m通りある。
 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを6で割ればよい。
 よって、3m+(18m^2+3m-9m)/6=3m^2+2m 通り

n=6mのとき
 3つの箱に区別があるとすると(6m+2)(6m+1)/2=18m^2+9m+1 通り
a=b=cとなる1通りを除くと18m^2+9m 通り
 このうち、a=b≠c となるものを考えると、
 2a+c=6m より、2a=6m-c この等式を満たす整数cは、c=0,2,4,…,6m の3m+1通り
 しかし、この中には2m番目にa=b=cとなるものが含まれるので、3m通り。
 実際にはcでなくてもよいから、9m通りある。
 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを6で割ればよい。
 よって、1+3m+(18m^2+9m-9m)/6=3m^2+3m+1 通り

以上をまとめると、
n=6m-5のとき 3m^2-2m
n=6m-4のとき 3m^2-m
n=6m-3のとき 3m^2
n=6m-2のとき 3m^2+m
n=6m-1のとき 3m^2+2m
n=6m のとき 3m^2+3m+1

きれいになったのできっと正しいと思います(笑)
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この回答へのお礼

なるほど納得です。細かい場合分けが必要になるんですね。詳しい回答ありがとうございました。もし、もっと楽な解法を発見したらまたお願いします。

お礼日時:2001/06/25 18:56

No.7に書かれている、ボールに区別がついて箱に区別がつかない場合ですが、


タイプミスとは思いますが、確認します。
ちょっとまどろっこしい解き方ですが・・・・

1箇所に寄った場合は1通り
2箇所に寄った場合は(2^n-2)/2=2^(n-1)-1通り
3箇所全部に入っている場合は、まず箱に区別がつくとすると、
3^nから1箇所に偏った3通り、2箇所に偏った3*(2^n-2)通りを引けば良い。
(2箇所の場合に3を掛けるのは、どの箱を空にするかの選び方が3通りあるから)
3^n-3*(2^n-2)-3=3^n-3*2^n+3より、
(3^n-3*2^n+3)/6=(3^(n-1)+1)/2-2^(n-1)通り

以上より、
1+2^(n-1)-1+(3^(n-1)+1)/2-2^(n-1)
=(3^(n-1)+1)/2 通りです。
もちろんikeshiさんの考え方の方がスマートなことは知っていますが、厳密に解いてみました。

No.6は、私の能力ではあれ以上考え方は簡単にできないです。悪しからず…

この回答への補足

すいません。タイプミスです。詳しい回答ありがとうございます。

補足日時:2001/06/26 21:19
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たびたびすみません。

下のNo.5の自分の回答のDとBを差換えさせて下さい。

【D改】ボールも箱も区別ない
n個の非個性なボールの並びを次の規則で仕切り板を入れる。(1)端にも可(2)仕切り板の左側のボールの数が右側のボールの数よりも小さくならない。このような仕切り板の入れ方 R(n)通りある。

R(n)=Σ{i=0,[n/2]}(1) ([ ]はガウス記号とする([x]="xを越えない最大の整数"))

上記の仕切り板を入れた各状態で生じている、右側の(i個の無個性な)ボールの並びに、同様の規則で仕切りを一つ入れる。このような仕切り板の入れ方は R(i)通りある。

R(i)=Σ{j=0,[i/2]}(1)

求める場合の数は、R(n)*R(i)

R(n)*R(i)=
=Σ{i=0,[n/2]}(1* Σ{j=0,[i/2]}(1) )
=Σ{i=0,[n/2]}([i/2]+1)
=[n/2]+1+Σ{i=0,[n/2]}[i/2]

(ガウス記号の入ったこのΣってnの偶奇で展開できるのかな。)


【B改】ボールのみ区別アリ
有個性なn個のボールを、次の規則で左右に別に分ける。(1)0個も個数と考える(2)左側のボールの数が右側のボールの数よりも小さくならないようにする。このような分け方の場合の数は Q(n)通りある。

Q(n)=Σ{i=0,[n/2]}(nCi)

上記のように分けた状態で生じている、右側の(有個性なi個の)ボールを、同様の規則で左右に分ける。このようなやり方の場合の数は、Q(i)通りある。

Q(i)=Σ{j=0,[i/2]}(iCj)

求める場合の数は、Q(k)*Q(k-i)
Q(n)*Q(i)=Σ{i=0,[k/2]}(nCi *Σ{j=0,[i/2]}(iCj) )

(誰かこの後の展開やり方教えて。)

この回答への補足

展開…わかんないですねぇ。
でもBは解けてるので、一応報告します。
「ボールも箱も区別アリ」で、ABCのうち一つにn個全部入れる場合は3通りで、箱を入れ替えると入れ替え方も3通り。その他は3^n-3通りで、箱の入れ替えはABCが異なるから6通り。よって、
(3^n-3)/6 + 3/3 = (3^n+1)/2 通りです。

補足日時:2001/06/25 18:44
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間違っていたらごめんなさい。

考えてみたことを投稿します。私にとって簡単と感じられた(思いっきり勘違いでなければ!)順番に、4問について書きます。

【A】ボールも箱も区別アリ
3^n (通り)

【C】箱のみ区別アリ
Σ{k=0 to n} 1* Σ{i=0 to (n-k)} 1}
= Σ{k=0 to n} 1* (n-k+1)
= Σ{k=0 to n} (n+1-k)
= (n+1)Σ{k=0 to n}1 - Σ{k=0 to n} k
= (n+1)(n+1) - n(n+1)/2
= (n+1){(n+1) - n/2}
= (n+1)(n/2 +1)
= (n+1)(n+2)/2 (通り) 

【D】ボールも箱も区別ない
Yk="k個の非個性なボールの並びに対して、左側のボールの数が右側のボールの数よりも小さくならないように仕切りを1つ入れる入れ方、の場合の数" とする。
[ ]はガウス記号とする([x]="xを越えない最大の整数")。
Yk=[k/2]+1
An=Σ{i=0,[n/2]}(Yi) (通り)
Anを展開したものが答えになると思うのですが(検証まだ)これは展開すれば、簡単にできますもんね。

【B】ボールのみ区別アリ
"有個性なk個のボールの並びに対して、左側のボールの数が右側のボールの数よりも小さくならないように仕分けする場合の数"×"残ったボールの並びにも同様の操作をする場合の数" を Bnとする。
[] はガウス記号とする。([x]="xを越えない最大の整数")。
Bn=Σ{a=[n/2]+1, n}((n)C(a)) * Σ{b=[(n-k)/2]+1, n-k}((n-k)C(b)) (通り)
Bnを展開したものが答えになると思うのですが(検証まだ)もっとエレガントな方法あるのでしょうねー。

取り急ぎ投稿してみました。
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その後気になって眠れなくなってしまい、脳の活動が止まりながらも考えました。


途中違ったらごめんなさい。
箱に区別がつかないということは、箱に区別がつく状態から考えると、
(0,0,1)と(0,1,0)、(1,0,0)は同じと見る、ということです。
上のように2つが同じで、1つが異なる場合は3通りずつあり、
すべてが異なる場合は3!=6通りずつあり、
すべて同じ場合は1通りしかないことから考えていきます。


n=6m-5のとき
 3つの箱に区別があるとすると(6m-3)(6m-4)/2=18m^2-21m+6 通り
 このうち、a=b≠c となるものを考えると、
 2a+c=6m-5 より、2a=6m-5-c この等式を満たす整数cは、c=1,3,5,…,6m-5 の3m-2通り
 実際にはcでなくてもよいから、9m-6通りある。
 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを6で割ればよい。
 よって、3m-2+(18m^2-21m+6-9m+6)/6=3m^2-2m 通り

n=6m-4のとき
 3つの箱に区別があるとすると(6m-3)(6m-2)/2=18m^2-15m+3 通り
 このうち、a=b≠c となるものを考えると、
 2a+c=6m-4 より、2a=6m-2-c この等式を満たす整数cは、c=0,2,4,…,6m-4 の3m-1通り
 実際にはcでなくてもよいから、9m-3通りある。
 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを6で割ればよい。
 よって、3m-1+(18m^2-15m+3-9m+3)/6=3m^2-m 通り

n=6m-3のとき
 3つの箱に区別があるとすると(6m-2)(6m-1)/2=18m^2-9m+1 通り
 a=b=cとなる1通りを除くと18m^2-9m 通り
 このうち、a=b≠c となるものを考えると、
 2a+c=6m-3 より、2a=6m-3-c この等式を満たす整数cは、c=1,3,5,…,6m-3 の3m-1通り
 実際にはcでなくてもよいから、9m-3通りある。
 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを6で割ればよい。
 よって、1+(3m-1)+(18m^2-15m+3-9m-3)/6=3m^2-m 通り

n=6m-2 のとき
 3つの箱に区別があるとすると(6m-1)*6m/2=18m^2-3m 通り
 このうち、a=b≠c となるものを考えると、
 2a+c=6m-2 より、2a=6m-2-c この等式を満たす整数cは、c=0,2,4,,…,6m-2 の3m通り
 実際にはcでなくてもよいから、9m通りある。
 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを6で割ればよい。
 よって、3m+(18m^2-3m-9m)/6=3m^2-m 通り

n=6m-1 のとき
 3つの箱に区別があるとすると3m(6m+1)=18m^2+3m 通り
 このうち、a=b≠c となるものを考えると、
 2a+c=6m-1 より、2a=6m-1-c この等式を満たす整数cは、c=1,3,5,…,6m-1 の3m通り
 実際にはcでなくてもよいから、9m通りある。
 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを6で割ればよい。
 よって、3m+(18m^2+3m-9m)/6=3m^2+2m 通り

n=6mのとき
 3つの箱に区別があるとすると(6m+2)(6m+1)/2=18m^2+9m+1 通り
a=b=cとなる1通りを除くと18m^2+9m 通り
 このうち、a=b≠c となるものを考えると、
 2a+c=6m より、2a=6m-c この等式を満たす整数cは、c=0,2,4,…,6m の3m+1通り
 しかし、この中には2m番目にa=b=cとなるものが含まれるので、3m通り。
 実際にはcでなくてもよいから、9m通りある。
 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを6で割ればよい。
 よって、1+(3m-1)+(18m^2+9m-9m)/6=3m^2+3m 通り

以上です。眠れなかったから頭が働いていたというわけではないので、
計算が違ったらごめんなさい。でも考え方は自信ありです。
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ちなみに「箱のみ区別あり」は、x+y+z=nの、負でない整数の組合わせだから、「区切りを、その両端までゆるしたn+2個から、2個選ぶ組合せ」で、


(n+2)C2=(n+2)(n+1)/2 です。

箱にも区別がつかない場合について・・・
一般には、a+b+c=n かつa≧b≧c となるa,b,cの組合せを数えればよい。


こんがらがるので、まずは箱を2つにしてみます。つまり、
a+b=n かつa≧b となるa,bの組合せについて
n=2k+1のとき、負でない整数a,bの和がnとなる組合せ(a<bも許す)は
(2k+1+1)C1=2k+2個あり、a=bとなることはないので、k+1個…★
n=2k のとき、負でない整数a,bの和がnとなる組合せ(a<bも許す)は
(2k+1)C1=2k+1個あり、a=bとなるものが1つ存在するので、
a+b=n かつa≧b となるa,bの組合せはk+1個…★★
まとめると、

n=2kのとき、k+1個
n=2k+1のとき、k+1個 (k=0,1,2,3,…)
よって、[x]を、xを超えない最大の整数として表すことにすると、
箱が2個のときは [n/2]+1 通り

箱が3つの状態はこの方法だと6通りの場合わけが発生しそう。
ずっと考えていましたが炸裂中なので、とりあえずここまでにします。
もっといい方法を知っている人がいたらお願いします(笑)
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> よく考えてみると、同じ個数ずつ複数の箱に入った場合が重複になるんです



そうですか?

例えば n=7 として、箱の区別があるときは 1、2、4 が6通りあるのは
OKですよね。で、同じ個数ずつ複数の箱に入ったとき 1、3、3 も6通り
ありますよね。1、3(a)、3(b) と書けばはっきりしますか?


# いや、先の回答で「自信なし」にしたのは、このあたりがあるんですけどね (^^;

この回答への補足

箱への入れ方なので、ボールを入れた箱abcを一列に並べるのではないんです。説明不足ですいません。
ちなみに、「箱のみ区別アリ」は、『ボールを一列に並べて、その間(両端も含む)にしきりを2本入れて、左から箱abcに入れるとする。しきりが「間」ひとつにつき一本しか入らないとき(b≠0)はn+1C2通り、「間」一つに必ず2本はいる場合(b=0)はn+1通りなので、合計で(n+1)(n+2)/2通り』となったのですが、いかがでしょう。

補足日時:2001/06/24 21:57
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「箱のみ区別アリ」が解けたのであれば、その組合わせ数を箱の区別の数


3P3=6 で割った数値が、その答えになります。

# いや、答えになると思います (^^;

この回答への補足

…とは私も考えたんですが、よく考えてみると、同じ個数ずつ複数の箱に入った場合が重複になるんです。ここの解決方法がわかりません。

補足日時:2001/06/24 17:57
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(2)からわかりません^^;
数学的帰納法を使おうとしてn=3のとき成り立つ。として、次にn=kのとき成り立つと仮定して、n=k+3のとき成り立つことを示そうとしたのですが。。。できません^^;

どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。^^

(2)と(3)は、素直に計算しましょう。

(2) 「分母」と「分子」にわけておきます。
・ボールは全部で何個ありますか?そこから 3個を選ぶ組合せの数が「分母」です。
・「分子」は、n-2個から 2個の白、2個から 1個の赤が選ばれればよいわけで。

(3) (2)で答えはわかっているので、計算するのみです。

(4) (3)の結果を使います。
P(n+1)- P(n)とした方がわかりやすいと思いますが、これは「変化量」を表しています。
つまり、
・P(n+1)- P(n)> 0ならば増えている
・P(n+1)- P(n)> 0ならば減っている
ということを表します。

n≧ 3ということを考えれば、+-の符号を決める項は限定されてきます。

微分で符号が変わるところが極値になることと同じような考え方です。


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