三角関数

cos( (7/24)*Pi )を、実数の形ではなく、有理数または無理数の組み合わせの形で求めたいのですが、どうやって計算したら良いのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.1 回答者： karamarimo 回答日時： 2017/01/10 18:20

cos(7π/6)=-1/2

からスタートして半角公式

(cosθ)^2=(1+cos2θ)/2

を２回用いればできるんじゃないでしょうか。
二乗を外すときに符号が+か-か選択肢がありますが、

cos(7π/12), cos(7π/24)>0

なのは明らかです。

No.2 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2017/01/10 20:43

これは、7/24=(1/2)*(7/12)で、また、7/12=(1/3)+(1/4)に気がつくと解けますね。

（逆に、これに気がつかないと解けない気がします）

まず、cos(7π/24)>0なので、cosの半角公式により、

cos(7π/24)=√[(1+cos(7π/12))/2]　　※

であり、cosの加法定理により、

cos(7π/12)=cos((π/3)+(π/4))
=cos(π/3)cos(π/4)-sin(π/3)sin(π/4)
=(1/2)(√[2]/2)-(√[3]/2)(√[2]/2)
=(√[2]-√[6])/4
となって、これを※に代入して整理すると、

cos(7π/24)=(√[2])(√[4+√[2]-√[6]])/4

√の中身を[ ]で表しています。