クーン・タッカー条件と最適性

次の二次計画問題に関して、何らかの制約想定に注意しながらクーン・タッカー条件を満たす点を求め、その点の最適性について述べよ。
（P）　　minimize 2x^2+y^2+xy
subject to x≧0
x+y=1
という問題がわかりません、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/02/01 17:26

制約x+y＝１よりy=1-xを目的関数へ代入しｙを消去すると

最小化問題は
min 2x^2 +(1-x)^2 +x(1-x)=2x^2 - x + 1
s.t.
x≧０
となる。この最小化（最適化）問題のK－T条件は
f(x)≡2x^2 - x +1
とおくと、
x≧0
f'(x)≧0 かつ xf'(x)=0
である。2番目の条件は
4x - 1 ≧0　かつ　x(4x - 1)=0
が成り立つことである。いま、仮に最適なｘの値がゼロ、つまりx=0とすると、K-T条件の1番目の不等式は
-1≧0となり、矛盾。よってｘ＞０でなければならない。これとK-T条件の2番目の式より
4x - 1 =0
よって、x=1/4となる。このとき、y=1-1/4＝3/4となるから、この最小化問題の最適値は(x,y)=(1/4,3/4)で、このとき目的関数は２×(1/16)－1/4＋1 = 7/8の値をとる。
計算を確認してください。

この回答へのお礼

理解できました、ありがとうございます！

お礼日時：2017/02/02 14:23