積分の計算問題です

∫[-π/2→π/2](x-cos2x)^2dxを求めよという問題で
答えがπ^3/12+π/2になるらしいのですが
解き方がわかりません 教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2017/02/20 00:31

(x-cos2x)^2＝ｘ²－2cos2x＋cos²2x＝ｘ²－2cos2x＋(1/2)+(1/2)cos4x なので

積分はｘ²と2ｘcos2xと(1/2)と(1/2)cos4x の各積分の和ですが、
2ｘcos2xは奇関数なので、∫[-π/2→π/2]＝0、また(1/2)cos4x は周期π/2の三角関数なので
その２周期にわたる積分である、∫[-π/2→π/2]はやはり0、したがって、のこるｘ²の積分と
(1/2)の積分の和だけということなので、簡単に結論が出ます。

この回答へのお礼

すごい！奇関数であることに気づくとこんなに簡単になるんですね！ありがとうございます

お礼日時：2017/02/20 07:37

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/02/19 13:23

まず、不定積分を求めましょう。

これさえ求まれば、定積分は数値を代入するだけ。

まず全体を
∫(x-cos2x)^2dx
= ∫[ x^2 - 2xcos(2x) + cos^2(2x) ]dx
に分解します。

第1項は（成分定数は省略、以下同じ）
　∫x^2 dx = x^3 /3

第２項は、部分積分を使って
　2xcos(2x) = x[ sin(2x) ]'
なので
　∫2xcos(2x) dx = x*sin(2x) - ∫sin(2x) dx = x*sin(2x) + cos(2x) /2

第3項は、三角関数の「半角公式」
　cos^2(2x) = 1/2 + cos(4x) /2
を使って
　∫cos^2(2x) dx = ∫[ 1/2 + cos(4x) /2 ]dx
= x/2 - (1/8)sin(4x)

これで定積分の計算をすれば

第1項：
　∫[-π/2→π/2]x^2 dx = [x^3 /3][-π/2→π/2] = π^3 /24 - (-π^3 /24) = π^3 /12

第２項：
　∫[-π/2→π/2]2xcos(2x) dx = [x*sin(2x) + cos(2x) /2][-π/2→π/2]
= -1/2 - ( -1/2 )
= 0

第3項：
　∫[-π/2→π/2]cos^2(2x) dx = [x/2 - (1/8)sin(4x)][-π/2→π/2]
= π/4 - ( -π/4 )
= π/2

以上より、全体の積分結果は
　π^3 /12 + π/2

この回答へのお礼

一つ一つ着実に計算していくってことですね！

ありがとうございます

お礼日時：2017/02/19 13:29