プロが教えるわが家の防犯対策術!

次の問題を教えてください。

(x,y)→(0,0)のとき、関数(sinx*tany)/(sin^2x+sin^2y)の極限を調べよ。

A 回答 (2件)

#1さま。



式変形が間違っていませんか?
>(sin x)(tan y) / { (sin x)^2 + (sin y)^2 }
= (1/xy) ((sin x)/x) ((tan y)/y) / { ((sin x)/x)^2 + ((sin y)/y)^2 }

展開したら
(sin x)*(tan y)/{y^2*(sin x)^2+x^2*(sin y)^2}
になりますが。

X=sin(x),Y=sin(y)と置くと
与式=(1/(cos(y))*XY/(X^2+Y^2)
となります。(x,y)→(0,0)のとき(X,Y)→(0,0),cos(y)→1ですのでXY/(X^2+Y^2)の極限を考えればよい。

X=r*cos(θ),Y=r*sin(θ)と置くと
X*Y/(X^2+Y^2)=sin(θ)*cos(θ)となり、この値はθによって変わる。よって(X,Y)→(0,0)の極限において収束しない。

#1の結果からは(x,y)→(0,0)の極限をとると絶対値が無限大に発散するが、上記の結果からは-1/2~1/2の範囲に収まる。
    • good
    • 0

(sin x)(tan y) / { (sin x)^2 + (sin y)^2 }


= (1/xy) ((sin x)/x) ((tan y)/y) / { ((sin x)/x)^2 + ((sin y)/y)^2 }.

lim[x→0] (sin x)/x = 1,
lim[y→0] (tan y)/y = 1 より
lim[x→0,y→0] ((sin x)/x) ((tan y)/y) / { ((sin x)/x)^2 + ((sin y)/y)^2 }
= 1・1 / { 1^2 + 1^2 } = 1/2 が収束するので、
lim[x→0,y→0] (sin x)(tan y) / { (sin x)^2 + (sin y)^2 }
は発散する。
    • good
    • 1

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!