2つ式のグラフがなす角度の等倍の直線の式

一次関数のグラフについての一連の質問で最初に質問した時のZincerさんの回答でX軸でなく2つの直線が作る角度を2等分する直線についてもご指導いただきました。そこで原点を通る一次関数で2つの直線が作る角度と同じ角度の第3の直線の式について質問します。ただし第1象限のみで考えます。
⑴　①Y=1/3 X と　②Y=3/4 X が作る角度と同じ角度を②Y=3/4 X　との間に作る
　第③の直線の式はどのように計算したらいいのでしょうか。
⑵　⑴に関連して　①　Y=ax と　② Y= bX が作る角度と同じ角度を ②Y=bX との間に作る
第 ③の直線の式には　公式のような一般解はあるのでしょうか。あるとしたらどのように計算し　　て導くのでしょうか

質問者からの補足コメント

• 

  ナッキーナッキーさんへ　いつもいつも画像付きの解説感謝しております。すこし本題とそれますが、前回の画像は回転させることが出来ました、が今回は右が頭となっていて回転出来ません。回転させる方法をご教示ください。また、Gyazoを老生も利用したいのですが、使い方はどのようにするのか、また注意点などお教えください。今まで質問時に図が必要なときはデジカメで撮り、添付していました。その方法は面倒だったので上記の質問となりました。本題の関数の事については再度書き込みます。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/02/25 12:22

• 

  ナッキーナッキーさんへ 貴君の添付画像を確認しましたが少し間違いがあるのではないでしょうか。それは　時計回りに Y=aX をX軸まで回転させた図ですがこの説明では　第1象限に移動してきた
  グラフを Y=cX としてありますがこれは　 Y=bX ではないでしょうか。もう一度　時計回りに Y=bX をX軸まで回転させないと　求めたい　Y=cX にはならないと思いますが　如何でしょうか。
  確かめのために　貴君の最終の計算式　Y=b-a/1+ab X を使い　Y=1/3X と　Y=3/4X で計算しますと　Y=1/3X (Y=bX ) となり等倍角をもつ式の答えにはなりません。
  是非とも確認してご教示ください。

    補足日時：2017/02/25 20:18

• 

  早速の返信読ませていただきました。老生の質問は一次関数の2つのグラフが第1象限に表わされる図において(Y=ax,　y=bxとし、Y=aXの方が傾きが大きいと考える )　この2つの直線間がつくる角度に等しい角度をY=aX　との間にもつ第3の直線　(Y=cX )としたならば　この c の値を求めよ。と言う意味を提示したものです。ですから例に挙げた問題は　①Y=1/3 X と　②Y=3/4 X の場合　で考えれば第3の直線は　②Y=3/4 X　のY軸側に引く直線です。　
  　いかがでしょうか。回答を待ちます。

    補足日時：2017/02/26 08:39

No.7 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/02/27 15:21

幾何学的に処理できたらと思ったのですが、思いつきませんでした。

垂線の方程式を使うといいかも知れませんが、私の記憶では高校数学で出てくるものだったと思いますので、垂線の方程式を使わずにやってみました。
ただし、傾きはc>a>bとして、求めるものが傾きcとしましたので宜しくお願いします。
方法は、私が勘違いして求めた
y= (a - b)/(1 + ab)・x
を用います。この式は、傾きaの直線を傾きbの直線とｘ軸のなす角度だけ回転させたとき得られる直線の式です。
ｘ軸と傾きbの直線のなす角をpとします。
傾きaの直線を角度pだけ時計回りに回転させると、傾きmは
m= (a - b)/(1 + ab)
となります。
次に、ｘ軸と傾きaの直線のなす角をqとします。
傾きcの直線を角度qだけ時計回りに回転させると、傾きnは
n= (c - a)/(1 + ac)
となります。
さて、傾きaの直線と傾きbの直線のなす角は傾きaの直線と傾きcの直線のなす角と等しいので、n=mでなければなりません。
そこで、
(c - a)/(1 + ac)＝ (a - b)/(1 + ab)
この式をcについて解くと
c={(a^2)・b +2a－b}/(1 －a^2 + 2ab)
が出てきます。
まあ、先日の式は図形の性質を使って求めてあるので、今回の解答も図形によるものと考えらるかも知れませんね(^^;)
結果が、有理式になっているので、何か工夫をすれば出てきそうな気がするのですが・・・何か思いついたら教えて下さい(^^)

この回答へのお礼

良く理解し納得できました。いつもいつも真摯に対応して頂き、感謝しております。今後ともよろしくお願いします。実は連続して一次関数のグラフに関して、1/2倍角、等倍角などの質問したのは、次回質問する問題を関数グラフの問題として解いてみたかったので繰り返し投稿したのです。そんなわけですので今後とも質問にお付き合いください。

お礼日時：2017/02/27 18:08

No.6 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/02/26 07:08

誤解が生じた様ですね(^^;)

手書きの画像で、y=ax,y=bx は本来ならば直線１，直線２と名前を付けるべきですが、直線の式を名前の代用として使いました。
そこで、上記の様に直線１，２として、直線２の方が傾きが大きいとします。
従いまして、直線１とｘ軸のなす角度を p とすると、２本の直線を時計回りに p だけ回転させると考え、
すると直線１がx軸と重なるので、このときの直線２の式が、求める直線y=cx だという意味です。

それから、確認なのですが、私は質問の意味を「２本の直線のなす角と等しい角度をｘ軸となす直線の式」と解釈して求めました。
もし、質問の意味が違いましたらご指摘下さい。

確かに、Y=1/3X とY=3/4X で計算しますとY=1/3Xが出てきます。
この結果の意味は、Y=1/3XとY=3/4Xのなす角度とｘ軸とY=1/3Xのなす角度は等しくなると言うことです。
言い換えるなら、ｘ軸とY=3/4Xのなす角度を２等分する直線がY=1/3Xだとなります。
実際、先日の角度を２等分する直線の式
y=a/{√(1+a^2) +1 ・x
の式にa=3/4 を代入しますと、Y=1/3Xが出てきます。

また疑問点などがありましたら、質問・指摘をお願いします(^^)

No.5 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/02/25 15:18

画像を回転できる事を実は知りませんでした・・・出来たんですね(^^;)

ご使用のブラウザで、印刷して頂くという方法もありますが、
画像を再アップいたしましたので、ご利用下さい。

https://gyazo.com/07fa7ed08764b021bad91662f2fad6aa

それから、Gyazoの使い方も少し面倒かも知れません。
私が利用している理由は、大きな画像のアップ速度が凄く速いからです。
Gyazoの利用方法は簡単で、登録などは不要です。
まず、画面右上に下の写真のようなアイコンがありますので、その右側の物をクリックします。
すると「ダウンロード」という項目がありますので、それをクリックします。
するとGyazoを利用するためのソフトウェアがダウンロードされますので、それをインストールします。
すると、「Gyazo」という名前のアイコンと「Gyazo GIF」という名前のアイコンができます。
「Gyazo GIF」は使った事が無いのですが、多分ＧＩＦ形式の画像をアップするためのものだと思います。
で、写真を撮り、パソコンに読み込ませます。
読み込んだ写真をクリックすると写真が適当なソフトウェアで表示されると思います。
・・・これから先は、Ｗｉｎｄｏｗｓでの話になります。
写真が、表示されない場合は「Ｗｉｎｄｏｗｓアクセサリ」の中にある「ペイント」を起動して写真を表示させます。
それから「Gyazo」のアイコンをクリックします・・・するとマウス・カーソルが「＋」になります。
「＋」カーソルの状態でマウス・ボタンの左を押したまま、画像領域をドラッグします。
マウス・ボタンを放すと、ブラウザが起動して、画像のアップが終了します。
ブラウザ画面の上に「リンクをコピー」が出ているはずですから、それをクリックします。これで、リンク先がコピーされます。
質問欄などにリンク先を貼り付ける場合は、マウス・ボタン右をクリックして「貼り付け」を選択します。すると、リンク先が書きこまれます。
Ｗｉｎｄｏｗｓ８以外をご使用の場合は、「Gyazo」のソフトウェアをスタートメニューから起動させればいいのですが、
Ｗｉｎｄｏｗｓ８の場合は、「Gyazo」を起動させて、キーボードの「Alt」を押したままで「Tab」を押すとソフトウェアが切り替わりますので、
これで、写真が表示されているソフトウェアに切り替えます。

多分、もっと便利な使い方があると思うのですが、面倒くさくて調べていません(^^;)
よかったら、いろいろといじってみて下さい(^^)

No.4 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/02/24 19:56

また手書きの画像をアップしておきました(^^)

https://gyazo.com/05f177e4eff859588d61cc7402b92695
（１）の計算はやりませんでしたが、結果が簡単なので、計算してみて下さい。
（２）は b>a でやってしまいました(^^;)
実は、三角関数が使えると、瞬殺で同じ結果が出てきます(^0^)
また、見づらい点や疑問点がありましたら質問をお願いします(^^v)

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/02/24 16:46

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9647736.html
のどこがご不満で?

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/02/24 12:20

前の質問の回答した yhr2 です。

同じような「角度の何倍」「角度の何分の1」に関する質問を続けているようですが、それであればもはや「三角関数」をきちんと勉強するほうを先に済ませてはいかがですか？

原点を通る直線の傾きは、X軸とのなす角の「タンジェント」で簡単に記述できますから。
角度を0～360°に取れば、「象限」を限定しなくとも一般式で書けます。

質問者さんのような発想から、三角関数（むしろ「三角比」かな）が生まれているわけですから。