次の問題の解き方を教えて下さい。 球x^2+y^2+z^2=9 と 円柱x^2+y^2=4 で囲まれ

次の問題の解き方を教えて下さい。
球x^2+y^2+z^2=9 と 円柱x^2+y^2=4 で囲まれた立体の体積を求めよ
よろしくお願いします

No.1 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/04/01 14:02

囲まれた部分を円柱+上下のお皿として考えてみましょう。

式を連立させると球と円柱が交差するzの値が分かりますね。
円柱の高さはこれの2倍で、半径も分かっているので、円柱の体積は求められますね。

あとはお皿の部分の体積です。
お皿の部分は「z=先ほどの交差するzの値～球の半径」の範囲で、zの位置での円(球のz軸に垂直な断面)の面積を積分して求めることができます。

お皿は2つあるので2倍し、円柱の体積を加えれば求める体積となります。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/06 15:19

真横から見た図は左上。

水色円柱+赤色皿2個分を足せば体積がでる。

円柱の体積を求める
●部分の座標はx²+y²+z²=9 と x²+y²=4を連立させた
z²=5よりZ=±√5
球の半径=3だからa²+b²=9でa=√5を代入するとb=±2

円柱の底面の半径=2、高さ=2√5だから
体積=4π･2√5=8√5･π

上の皿の体積を求める
右の図。
水色と赤の境目を上から見ると半径2の円。
縦軸zの●位置での赤線の長さはa²+b²=9でb=zを代入すると
a²=9-z² ∴a=±√(9-z²)

zの位置を上から見ると、半径√(9-z²)の円だから
面積=π･(9-z²)
体積はπ･(9-z²)Δzを√5～3まで定積分すれば求められる。

∴2個分の体積=2π∫(9-z²)dz=
2π∫9dz - 2π∫z²dz = π(36- (44√5)/3) )

全部足すと(36-(20√5)/3)π