数理統計学で教えてください

対応のあるデータの平均から，分散をπ(パイ)/4 x(データ数)x(範囲の平均値の２乗)として求められるのは，なぜですか。よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 既に回答をしていただいた方，誠にありがとうございました。
  
  2つのデータは，１０ロットの製品から採取したサンプルからの品位（例えば，鉄分%）です。具体的には，対のデータをA and Bとすると　　A: 60.95/62.29/61.97/61.77/64.62/63.16/62.38/63.98/63.25/62.31 B: 61.61/61.42/62/90/62.45/63.48/62.13/63.60/63.09/63.80/63.24 です。
  
  これから，分散の推定値が初めの質問にあるように，1.4472 と計算されています。よろしくお願いいたします。

    補足日時：2017/05/07 15:36

• 出典はJIS M8083 付属書3 の層内のインクリメント間のばらつきの調査方法です。Ｒ=(Xa - Xb)の絶対値として，範囲の平均がRの合計を対のデータ数kで割って出しています。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/08 00:52

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/05/06 20:33

分散にπ(パイ)が一般項として出て来る事は有りません。

「あるデータ」の例がそういう特殊なデータだからです。

「あるデータ」の例を示さずに言ってるから、意味の無い質問ですよ。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/06 23:04

「対応のあるデータの平均」「範囲の平均値」とは何ですか？

そもそものデータの中身と、それをどう処理しているものなのかが分からないと、何とも言えません。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/08 00:31

No.2です。

データを示されましたが、相変わらず
・「対応のあるデータの平均」とは何か
・「範囲の平均値」とは何か
が不明なので、何とも言えません。

「パイ/4」というのが出てくるので、想像力を膨らませると、「Aデータ」と「Bデータ」との対応する要素 (ai, bi) を a-b 平面上にプロットすると、完全に対応がとれていれば
　bi = ai
という「角度 パイ/4」の直線上に載ります。そこから外れた「分散」を、 a-b 平面上の位相角で表わすのかなあ、（「角度 パイ/4」の位相角の変位が「分散」に相当する）として表わすのかなあ、などという想像もします（一種の相関係数のような位置づけ）。ただし、それは「どのようなデータ処理をして、どのようなパラメータで評価するか」ということを定義しないと何とも言えません。

その定義の中に、おそらく「対応のあるデータ」の「対応」とは何かとか、「範囲の平均値」とは何かといった定義も含まれるのではないかと思います。

もう少し、お示しの質問の出典や詳細を記載いただけませんか？

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/08 01:02

No.3です。

＞出典はJIS M8083 付属書3

であれば、その JIS の解説なり参考文献、あるいは元になっている海外規格の参考文献を調べるしかないと思います。
そもそも規格というもの自体が、「いろいろな方法・手法が存在するので、やり方を統一しよう」というのが目的だと思いますので、「理論的・論理的なもの」ではなく（もしそうなら規格にする必要はない）、多分に「経験的・実験的」なものである可能性が高いと思います。

いずれにせよ、私の手に負えないことが分かったので、これで撤退します。

この回答へのお礼

誠にありがとうございました。お答えいただき感謝いたします。

お礼日時：2017/05/08 01:17

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2017/05/10 15:42

次々とサンプルを採っては測定していくうちに、現象のほうが変化してだんだん値がずれていく（=トレンドがある）ような場合に、測定精度（不確かさ）を見積もりたい、という目的で行われる処置なのかな、と思います。

　単純に測定値の分散を計算したのでは、トレンドの影響によって精度を実際より悪く見積もってしまう。
　そこで、引き続く２つのサンプルをペアにして、各ペアについて測定値の差に注目します。ただし、各ペアのうちではトレンドの影響はほとんどなく、かつ、個々の測定値は平均0 分散vの分布に従う測定誤差を持っている、と仮定する。
　すると、ペアの測定値の差の平均は0に収束するはずである。また、
　　　独立な確率変数x, yがどちらも分散vの分布に従う時、定数a,bについて
　　　　　z = ax + by
　　　を作ると、zは分散(a^2 + b^2)vの分布に従う。
という性質から、（この場合はa=1, b=-1なので）ペアの測定値の差の分散は2vに収束するはずである。
　というわけで、
　　v ≒ (1/2) ((ペアの測定値間の差)^2) / (ペアの数 - 1)
というやりかたでvを推定できるでしょう。

　で、πが出て来るのは謎ですけど、上記に類する原理を使って、さらに「トレンドの影響はほとんどなく」の所をもうちょっとナニするための仮定を加えるとかすると「係数が(1/2)じゃなく(π/4)」という話になるのかもしれない。

この回答へのお礼

本当にありがとうございました。なんとなく，わかってきそうです。私も，貴殿のヒントをもとに考えてみます。

お礼日時：2017/05/10 21:56