重複事故の発生確率を教えて下さい

20人のメンバーが同じ場所から同時に出発し、全員ある場所に同時に到着しなければなりません。同じタイプの5人乗り乗用車5台に各4人が分乗し、集団で移動します。
1.移動に要する期間は3カ月とします。
2.車1台の、故障もしくは事故で動けなくなる確率を、6カ月に1度とします。
つまり、同時に2台以上に不都合が生じない限り、20人は4台の車で、目的を達することが出来る訳です。

下の条件は必要かどうかわかりませんが、書いてみます。
3.車の速度の変更は出来ないものとします。
4.当然ながら移動手段は、この車に限定されます。乗り換えは出来ません。

上の条件で、20人が同時に目的地へたどり着ける確率（たどり着けない確率）を、お教え下さい。
私は数学にまったく疎い人間ですので、更に必要な条件があれば、それを入れて、お教えください。
又、故障もしくは事故で動けなくなる確率を、12カ月に1度と仮定した場合はどうでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  早速のお教え、ありがとうございます。
  私は今回が初めての質問です。質問そのものが要領を得ていないと思います。
  目的地に到着したいのは、運転手を含めて20人です。
  5人定員の乗用車なら4台で足りる訳ですが、5台で行くのは、1台の途中ダウンを見込んでいる訳です。
  私は感覚的に4台全車の完走と、5台のうち4台の完走は、後者の確率（安全性）が高いと思いますが、数字的にはそれはどういうことになるのか、差を知りたいと思います。
  お二人のご回答の中に既にその答えはあるのかも知れません。その場合は理解力のない私をお許し下さい。

    補足日時：2017/05/29 13:37

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2017/05/29 09:04

車一台がひと月内に動けなくなる確率が　1/6　なら、３か月だと、1/2→故障しない確率は1/2

全部の車が故障しない確率は　（1/2）＾5
一台のみが故障する確率　＝　5Ｃ1・（1/2）/2^5=5/64
あわせて、1/32+5/64=7/64
でいいんじゃないかな？

確率を変えた場合は、数値（1/2）を変えればよいだけ

この回答へのお礼

ありがとうございます。初めての質問に対する初めて頂いたお答えでした。忘れません。

お礼日時：2017/05/29 20:04

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/29 11:34

＞20人が同時に目的地へたどり着ける確率

これは、
（１）5台に分乗した場合には、5台の乗用車全台が、3カ月間に故障しない確率
（２）4台に分乗した場合には、その4台の乗用車全台が、3カ月間に故障しない確率
ということに過ぎません。

いずれの場合にも、「3ヶ月間に故障する確率」は「1/2」であり、「故障しない確率」は「1 - 1/2 = 1/2」です。

故障頻度が「12ヶ月に1回」であれば、「3ヶ月間に故障する確率」は 1/4、「故障しない確率」は「1 - 1/4 = 3/4」です。

（１）の場合には、「5台すべてが故障しない確率」は
　(1/2)^5 = 1/32
です。

（２）の場合には、「４台すべてが故障しない確率」は
　(1/2)^4 = 1/16
です。

どのように分乗すべきかを考えたとき、（２）のように4台に分乗するのが有利です。5台に分乗したら、その1台分、故障確率が増えますから。（信頼性工学で「多重化」は信頼性を上げる手法ですが、それはあくまで「多重化のうちの一定数まで故障を許容する」のが条件であり、ご質問のような「一切故障を許容しない」条件では、できるだけ稼働数を少なくするのが鉄則です）

ということで、できるだけ全員が到着する確率を高くしたいのなら、4台に各5人ずつ分乗することを選択すべきであり、そのとき20人全員が同時に目的地へたどり着く確率は「1/16」です。

#1さんの答は、「5台に分乗して、5台中4台以上が目的地へたどり着ける確率」ですね。（少なくとも、故障した車を運転している人は到着できないので、題意を満たしていない）

もし、（１）と（２）を半々で均等に選択するなら、そのときに全員到着できる確率は
　(1)×(1/2) + (2)×(1/2)
で
　(1/32)×(1/2) + (1/16)×(1/2) = 1/64 + 1/32 = 3/64
で、上に書いた（２）の「1/16 = 4/64」よりも小さくなり、（１）の「1/32＝2/64」よりは大きくなります。

もっと複雑な条件を設定したり、「最低限〇人以上が到着する」という条件にするなら、いろいろと複雑になります。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/29 14:19

No.2です。

「補足」を読みました。途中での乗り換えが可能なのですね。

「５台に分乗して出発し、途中で１台が故障した場合には、そこに乗っていた人は残りの４台に再分乗して目的地を目指す。２台目の故障があったら、もはや20人を運搬できないのでアウト。」

それであれば、「全く故障しない」または「１台だけがの故障」ということですので、この２つの確率の「和」になります。

（１）全く故障しない確率
　(1/2)^5 = 1/32

（補足）故障確率が 1/4 なら、５台とも故障しない確率は
　　(3/4)^5 = 243/1024

（２）１台だけが故障する確率
　　(1/2) × (1/2)^4 × 5C1 = 5/32

（注）「5C1」は「5台から1台を選ぶ場合の数」で、「故障する１台が５ケースある」ことで各々の確率を足し合わせていることに相当します。

（補足）故障確率が 1/4 なら、１台故障だけが確率は
　　(1/4) × (3/4)^4 × 5C1 = 405/1024

（３）以上より、「全く故障しない」または「１台だけがの故障」の確率の和は
　　1/32 + 5/32 = 6/32 = 3/16

（補足）故障確率が 1/4 なら、「全く故障しない」または「１台だけがの故障」の確率の和は
　　243/10242 + 405/1024 = 648/1024 = 81/128

（注）#1 さんの計算は、どこかで違っているような。
「一台のみが故障する確率　＝　5Ｃ1・（1/2）/2^5=5/64」
では、１台が故障する確率「1/2」と、４台が故障しない確率「(1/2)^4」のかけ算なので、分母の「/2^5」は「/2^4」ではないかと思います）

この回答へのお礼

ありがとうございます。私は数学的素養が欠落していますので、即座に理解が出来ません。ゆっくり数字を追ってみたいと思います。ところで、同じテーマの、骨組みの違う質問があるのですが、それはやはり別途立てるのが良いと思いますので、そうします。そちらの方も、よろしくお願い致します。

お礼日時：2017/05/29 20:16