高校物理

相対速度の問題です。
ロケットが速度V0で進んでいる。ロケットから進行方向と逆向きに質量mのガスを噴射することでロケットを加速させる。ロケットから見て相対速度uで後方へガスを噴射するとき、噴射後のロケットの速度をV1とすると、ガスの速度はいくらか。
この問題の解き方がわかりません。速さや相対速度の大きさが示されていればわかるのですが、このような場合はどのように考えたらいいのでしょうか。ベクトル表示でも教えていただけると幸いです。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/05/30 06:47

運動量保存則を使う。

ロケットの質量が与えられないと解けない。仮にMと置く。
速度をベクトル量として記述。

噴射された燃料の実際の速度をvとすると、
(M + m)V0 = MV1 + mv。①

相対速度は （対象物）-（基準）なのでu =v -V1
∴v=V1+u
これを①に代入すると、(M + m)V0 = MV1 + m(V1+u)

整理するとV1=V0-( m/(M+m) )u

ここまではベクトル表現。スカラーで計算する場合には符号に注意。
ロケットの進行方向を正符号とすれば、燃料噴射方向はマイナスになるので、-uとする。

V1=V0+( m/(M+m) )u これがスカラー表現

u=(V1-V0)(M+m)/m

v=V1+uだったので、v=V1+(V1-V0)(M+m)/m

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/05/30 08:22

>>v=V1+uだったので、v=V1+(V1-V0)(M+m)/m

スカラにする時、符号を逆にしないといけなかった

→v=V1-(V1-V0)(M+m)/m

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/31 16:32

＞速さや相対速度の大きさが示されていればわかるのですが、

「初期のロケットが速度V0」：ロケットの進行方向に、速さ V0
「噴射後のロケットの速度V1」：問題文に「ロケットを加速させる」とあるので、V0 と V1 は同じ向きで V0<V1 と考えるのがふつうですが、V0 と V1 とは同じ向きである必要はありません。

「ロケットから進行方向と逆向きに質量mのガスを噴射する」：ガスを噴射の向きはロケットの進行方向と逆方向なので、これなら V0 と V1 とは同じ向きになります。
「ロケットから見て相対速度uで後方へガスを噴射」：ロケットとガスとの相対速さが u です。

ということで、すべて示されていると思いますが？
下記は、「進行方向と同じ」とか「ロケットと逆方向」かとを考えずに、「ロケットの進行方向を正としたベクトル」で統一して書いてみましょう。

全体の考え方として、一切外力は働いていないので、「ガス噴射前も噴射後も、「ロケット + ガス（燃料+酸素）」の重心の速度は一定」ということを使ってみます。

ガス噴射前は、「ロケット + （燃料+酸素）」の重心の速度は →V0。（ロケットも燃料も重心と一体）
ガス噴射後も、「ロケット + ガス」の重心の速度は →V0。
ロケット（質量 M - m）の速度が →V1 なので、重心から見たロケットの相対速度は
　　→V1 - →V0
一方、ガス（質量 m）の速度を →Vg とすると、重心から見たガスの相対速度は
　　→Vg - →V0
（ロケットから見たガスの相対速度 →u を使うより、こちらの方が分かりやすいのでこうしました。もちろん →u = →Vg - →V1 を使ってもよいです。このときには「重心から見たガスの相対速度」は →Vg - →V0 = →u + →V1 - V0 になります）

「重心との相対速度」で考えれば、重心は静止しているので
　　M*(→V1 - →V0) + ｍ*(→Vg - →V0) = 0
よって
　　→Vg = [ m*→V0 - M*(→V1 - →V0) ] / ｍ
　　　　= [ (M + m)*→V0 - M*→V1 ] / m　　　　　①

結局のところ、ガス噴出前後の運動量保存
　　(M + m)*→V0 = M*→V1 + m*→Vg
を使ったのと同じです。

ちなみに、①からはガスの速度は
（１）(M + m)*|→V0| > M*|→V1| のときは →Vg は「正」なのでロケットの進行方向。
（２）(M + m)*|→V0| < M*|→V1| のときは →Vg は「負」なのでロケットの進行方向と逆向き。
（３）(M + m)*|→V0| = M*|→V1| のときは →Vg は「ゼロ」なので宇宙空間に置き去り。