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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
f(x) は「確率密度関数」ですか?
「確率密度関数」なら、変数の全定義域で積分すると「1」になります。「確率」ですから。
(1) f(x) が「確率密度関数」なら
∫[0→3]f(x)dx = 1
なので、
∫[0→3]f(x)dx
= ∫[0→3]α(3-x)dx
= [ 3αx - (α/2)x^2 ][0→3]
= 9α - (9/2)α
= (9/2)α
これが「1」になるので
(9/2)α = 1
より
α = 2/9
(2) ただの「分布関数」といえば、「累積分布関数」のことを言います。
つまり
F(x) = Px(-∞, x)
= ∫[0→x]f(t)dt
= ∫[0→x][ (2/9)(3 - t) ]dt
= [ (2/3)t - (1/9)t^2 ][0→x]
= (2/3)x - (1/9)x^2
(3) 平均値 E(x) は「期待値」とも言います。この場合には 0<x<3 のいくつが「出やすいか」みたいなものです。
E(x) = ∫[0→3]x*f(x)dx
= ∫[0→3][ (2/3)x - (2/9)x^2 ]dx
= [ (1/3)x^2 - (2/27)x^3 ][0→3]
= 3 - 2
= 1
分散は、平均値からの「ばらつき」。
V(x) = ∫[0→3](x - E(x))^2*f(x)dx
= ∫[0→3](x - 1)^2*f(x)dx
= ∫[0→3](x^2 - 2x + 1)*[ (2/9)(3 - x) ]dx
= (2/9)∫[0→3](x^2 - 2x + 1)*(3 - x)dx
= (2/9)∫[0→3]( -x^3 + 5x^2 - 7x + 3)dx
= (2/9)[ -(1/4)x^4 + (5/3)x^3 - (7/2)x^2 + 3x ][0→3]
= (2/9)( -81/4 + 45 - 63/2 + 9)
= (2/9)( -207/4 + 54)
= -23/2 + 12
= 1/2
標準偏差は、分散の平方根で
σ = √V(x) = √(1/2) = √2 /2
計算間違いがあるかもしれないので、ご注意ください。
>(2)を計算するときに、積分を使うのは何でですか?どう考えれば積分を使うことに行き着くんでしょうか?
(2)の「累積分布関数」は、それこそ「累積」なので積分そのものです。
なお、(2)だけでなく、すべてで積分を使いますよ。
「分布」は、縦軸が「度数」(度数分布の場合)、あるいは「確率」(確率分布の場合)ですから、変数で積分すれば「度数の合計」「確率の合計」が求まります。全体の度数の合計は「総数」、全体の確率の合計は「1」になります。
No.2
- 回答日時:
No.1です。
「お礼」に書かれたことについて。>(2)がまだわかりません。
>なぜ0→xを考えるのでしょう?
(2)が「累積」分布関数だからです。
「累積」分布関数ですから、F(x) の値は f(x) の -∞~x の累積値です。連続量の「累積」とは「積分」のことですから、 f(x) を -∞~x で積分したものが F(x) になります。
y=f(x) のグラフを書いて、F(x) は -∞~x の範囲で y=f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積ということです。
f(x)={α(3-x) (0<x<3) , 0 (x≦0,x≦3)}
ということは、-∞ < x < 0 の累積は「0」です。従って、「 -∞~x の範囲での累積」は「 0~x の範囲での累積」と等価です。x<0 では f(x)=0 なのですから。
従って、x<0 では F(x)=0 です。
0 ≦ x で初めて F(x) は値を持ち始めます。
F(x) の値は x=0~3 の間は単調増加します。
x=3 で F(3) =1 になり、3 ≦ x ではず~っと F(x) = 1 のままでこれ以上増えません。
分かりますか?
お使いのテキストにも書いてあるとは思いますが、こんな解説を読んで、それでも分からなかったらまた質問してください。
https://bellcurve.jp/statistics/course/6708.html
この回答へのお礼
お礼日時:2017/05/31 06:59
すごくわかりやすいです!
私のテキストは、公式と問題と略解しかないものなので、何も情報がありません。
毎授業後、統計系が得意な友だちに聞いたり、先生に聞いたり、ネットで自分で調べたりして理解しています。数学もドイツ語もそうです。
これからもこのサイトを利用して頑張ろうと思ってます。
早い回答ありがとうございました(*^^*)
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