この数学の問題の解答を教えてください

この数学の問題の解答を教えてください

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/31 10:34

絶対値 |A| は

　A≧0 なら　|A|=A
　A<0 なら　|A|=-A　　← -A>0 なので
というのが基本です。

ここでは絶対値が2つあるので、4つに場合分けしないといけなさそうです。

（１）x - 2 ≧ 0 のとき。つまり 2 ≦ x のとき。内側の絶対値はそのまま外せて
　|x - 2 + 2x - 3| ≦ (1/2)x + 2
→ |3x - 5| ≦ (1/2)x + 2　　　　①

(1A) 3x - 5 ≧ 0 のとき。つまり 5/3 ≦ x のとき。
　上記の大前提「 2 ≦ x 」のときには、常にこの条件を満たす。
　このときには、①の絶対値がそのまま外せて
　　3x - 5 ≦ (1/2)x + 2　　　　②
→　(5/2)x ≦ 7
→　x ≦ 14/5

大前提「 2 ≦ x 」かつ「 5/3 ≦ x のとき」と同時にこれを満たす範囲は
　　2 ≦ x ≦ 14/5　　　　　③

(1B) 3x - 5 < 0 のとき。つまり x < 5/3 のとき。
　上記の大前提「 2 ≦ x 」では、これはあり得ないので、このケースは考慮する必要はない。


（２）x - 2 < 0 のとき。つまり x < 2 のとき。内側の絶対値の中身は「マイナス」なので、絶対値（正の値）にするには「マイナス」を付けて外して
　|-(x - 2) + 2x - 3| ≦ (1/2)x + 2
→ |x - 1| ≦ (1/2)x + 2　　　　④

(2A) x - 1 ≧ 0 のとき。つまり 1 ≦ x のとき。
　上記の大前提「 x < 2 」と同時にこれを満たすのは、 1 ≦ x < 2 のとき。　　　⑤
　このときには、③の絶対値がそのまま外せて
　　x - 1 ≦ (1/2)x + 2
→　(1/2)x ≦ 3
→　x ≦ 6

上の⑤「 1 ≦ x < 2 」と同時にこれを満たす範囲は
　　1 ≦ x < 2　　　　　　　⑥

(2B) x - 1 < 0 のとき。つまり x < 1 のとき。
　上記の大前提「 x < 2 」と同時にこれを満たすのは　x < 1 のとき。　　　⑦
　このときには、④の絶対値の中身は「マイナス」なので、絶対値（正の値）にするには「マイナス」を付けて外して
　　-(x - 1) ≦ (1/2)x + 2
→　-x + 1) ≦ (1/2)x + 2
→　-1 ≦ (3/2)x
→　-2/3 ≦ x

上の⑦「 x < 1 」と同時にこれを満たす範囲は
　　-2/3 ≦ x < 1　　　　　⑧

（３）以上より、x の満たすべき範囲は、③⑥⑧より
　　　　2 ≦ x ≦ 14/5　または　1 ≦ x < 2　または　-2/3 ≦ x < 1
なので、これを合わせて
　　　　-2/3 ≦ x ≦ 14/5


計算違いはあるかもしれませんが、考え方は上のようなものでよいはず。

No.1 回答者： bilateraria165 回答日時： 2017/05/31 10:05

ちゃんと計算してないので、解き方だけ残します。

左辺で後述する４通りの場合分けをして、左辺を絶対値表示の残らない形の不等式に変換して解いていきます。
あとは地道に不等式の計算をしていくだけなのですが、注意が必要なのは各場合において条件式にあたる不等式(i)(ii)も解いておく必要があります。
ゆえに各場合において連立不等式を解くことになります。

①(i) |x-2|+2x-3≧0 かつ (ii) x-2≧0 のとき
→
(x-2)+2x-3≧0　かつ　x-2≧0　かつ　(x-2)+2x-3≦(-1/2)x+2 を解く

②(i) |x-2|+2x-3≧0 かつ (ii) x-2<0 のとき
→
(x-2)+2x-3≧0　かつ　x-2<0　かつ　-(x-2)+2x-3≦(-1/2)x+2 を解く

③(i) |x-2|+2x-3<0 かつ (ii) x-2≧0 のとき
→
-{(x-2)+2x-3}≧0　かつ　x-2≧0　かつ　-{(x-2)+2x-3}≦(-1/2)x+2 を解く

④(i) |x-2|+2x-3<0 かつ (ii) x-2<0 のとき
→
-{-(x-2)+2x-3}≧0　かつ　x-2≧0　かつ　-{-(x-2)+2x-3}≦(-1/2)x+2 を解く

解いていくなかで矛盾するxの解が得られる場合もあるかもしれないので、最終的な解の出し方には慎重に。