この問題ので速度vのBに対する直角成分はrωcosωtという解説をどこかで聞いたのですが、 rωは

Question

この問題ので
速度vのBに対する直角成分はrωcosωtという解説をどこかで聞いたのですが、
rωは分かりますがなぜcosωtとなるのでしょうか

tknakamuri · Accepted Answer

>左から右へ磁束密度Bが向かっているとき

問題では t=0 の時、コイル面と磁場が
垂直だから、①でt=0とすると
磁場の向きが違うよね。

tknakamuri · Answer

>数学の基本がまだまだできてないようです

θ(?) はそこじゃないですよね？

何処ぞで拾ってきた答えに惑わされず
自力で導きけるはずですよ。

sinかcosかなんて、角度の基準のとり方次第。
拾ってきた式が正しい保障はどこにもないです。

tknakamuri · Answer

vはコイルの長さＬの部分の、磁束Bに対して垂直な速度成分でしょうか？

rωsinωt

でしょう。

yhr2 · Answer

No.1&2 です。「補足」の図を見ました。

まず、「速度」云々を忘れて、コイルの中を通る磁束線の数を考えてみましょう。
図のように、コイル面が磁束線に直角なときを t=0 としましょう。このときに磁束線の数が N0 本だとすると、コイルが角度 θ 傾いたときにコイルが横切る磁束線の数は
　N0 * cosθ
になりますよね？　θ=0 のときコイル面は磁束線に垂直になるので横切る磁束線の数は N0 そのもの、θ=パイ/2 のときコイル面は磁束線に平行になるので横切る磁束線の数はゼロになります。この式のとおりですよね？

この θ が時間とともに変化して、
　 θ = ωt
のときには、時刻 t のときにコイルが横切る磁束線の数は
　N(t) = N0 * cos(ωt)　　　　　　①
になります。

図に書かれているように、この N0 を、コイルの面積 S としても同じです。磁束線が通過する「コイルの断面積：S」（磁束線と直角な断面積）は
　S * cosθ
です。磁束密度を B とすると、
　B * S = N0
ということになり
　N(t) = B * S * cos(ωt)　　　　②
ということになります。

ここまではよいですか？　ここまでは「速度」には関係しない、「瞬間の値」の話です。

次に「速度」の話に移ります。「速度」は「位置（座標、変位）」の微分（単位時間当たりの変位量）なのですが、微分を使わずに説明しましょう。
上に書いたように、
　　 θ = ωt
で回転しているとすると、角度を「ラジアン」で表わすと、微小時間 Δt の間に
　　 Δθ = ωΔt  （ラジアン）
だけ回転します。このときのコイル外周の移動距離 ΔW は、角度にコイル半径をかけた
　　ΔW = r * ωΔt　　　　　③
です。補足図の②に書かれたように、コイルの幅を L とすると（「１」と区別するため大文字で書きます）、この間にコイルの横切る面積は
　　ΔS = ΔW * L
になります。これを、上と同じように「磁束線が通過する断面積」に換算しましょう。上では「面の角度」そのものが θ だったので、cosθ をかけました。ところが、今の場合には、この ΔS の面は「コイル外周の動いた面」なので磁束線と「パイ/2 - θ」の角度になっていることは分かりますか？　つまり θ = 0 の付近ではこの ΔS の面はほとんど磁束線を横切らず、逆に θ = パイ/2 近くではほぼ ΔS の面全体で磁束線を横切ります。
　つまり、「磁束線が通過する断面積」は
　　ΔS * sinθ = ΔW * L * sinθ　　　④　
なのです。
ここがポイントでしょうか。　　　　　　　　　(A)

従って、この断面積が横切る密度B の磁束線の本数ΔΦは
　　ΔΦ = B * ΔS * sin(ωt) 
になります。

③④を使えば
　　ΔΦ = B * ΔS * sin(ωt) = B * ΔW * L * sin(ωt) = B * r * ωΔt * L * sin(ωt)
これより
　　ΔΦ/Δt = B * r * ω * L * sin(ωt)
ここで
　　r * L = S
と書けば
　　ΔΦ/Δt = B * S * ω * sin(ωt)

ΔΦ/Δt = V と書けば
　　V = B * S * ω * sin(ωt)
となって、No.1で書いたものに一致します。

補足の図や、「Bの直角成分」などと書かれているのは、上の（Ａ）の説明をするためのもののような気がします。「コイルが単位時間に横切る磁束線の数」を求めるためのもののように思います。
ここは、上のような説明で納得いただけますか？

yhr2 · Answer

No.1です。知らぬ間に「補足」が追加されていましたね。

この図では「その瞬間の座標」「その瞬間の角度」のことを言っているのか、「その時間変化である速度」「その時間変化である角速度」のことを言っているのかをよく考えてください。

ω は「角速度」ですから
　ω = dθ/dt
です。

従って
　rω = r * dθ/dt = 円周上の周速度
です。

その瞬間の θ の値は何の関係もありません。

yhr2 · Answer

コイルの「面」をどっち向きにして回転させるのでしょうか。

「回転面」と「コイルの面」が同じなら、永遠に「コイル面が磁場に直角になる」ことはありません。
ということは、コイル面は回転の接線方向を向いているのでしょうね。

それであれば、コイル面を横切る磁束の数は
　Φ(t) = BS * cos(ωt)
でしょう。（初期条件が t=0 のとき「コイル面が磁場に直角」で　Φ(0) = BS なので、sin ではなく cos になる）

ということで、
　V(t) = -dΦ/dt = BSω * sin(ωt)

＞速度vのBに対する直角成分はrωcosωtという解説をどこかで聞いたのですが、

それが何の関係があるのですか？　
「速度」とは「座標の時間微分」ですね。

質点が、軸のまわりに半径 r で回転すれば、その座標は、回転中心を原点に
　x = r * cos(ωt)
　y = r * sin(ωt)
ですから、速度は
　vx = dx/dt = - r*ω*sin(ωt)
　vy = dy/dt = r*ω*cos(ωt)
です。
速度の y 成分は r*ω*cos(ωt) ですが？

sin か cos かは、初期条件で変わります。

＞なぜcosωtとなるのでしょうか

意味不明です。上の場合なら、回転運動だからです。

この問題ので 速度vのBに対する直角成分はrωcosωtという解説をどこかで聞いたのですが、 rωは

>左から右へ磁束密度Bが向かっているとき

>左から右へ磁束密度Bが向かっているとき

>数学の基本がまだまだできてないようです

vはコイルの長さＬの部分の、磁束Bに対して垂直な速度成分でしょうか？

No.1&2 です。

No.1です。

コイルの「面」をどっち向きにして回転させるのでしょうか。

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