重積分についてです この(3)の問題の解き方がよく分かりません 解説お願いします

重積分についてです
この(3)の問題の解き方がよく分かりません
解説お願いします

No.5 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/06/30 12:29

領域が円なので、置換積分も可能！

xー1=r・cosθ
y=r・sinθ
y≧0より、0≦θ≦π
0≦r≦1
dxdy=r・dr dθ
∮ ∮【D】3r・sinθ・r・dr・dθ
=∮【0→1】3r^2 dr ∮ 【0→π】sinθ dr dθ
= 1・［ーcosθ］【0→π】
=2

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/integral/ …
参考に！

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2017/07/20 15:07

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/06/30 10:31

No2のやる方では、

∮ 【x=0→x=2】dx ∮ 【y=0→y=√(2xーx^2)】3y dy
=∮ 【x=0→x=2】 ［3y^2 /2］【y=0→y=√(2xーx^2)】dx
=∮ 【x=0→x=2】 (3/2)・(2xーx^2)dx
=(3/2)［x^2ーx^3 /3］【0→2】
=(3/2)・(4ー8/3)=2

子供に聴いてみますね！

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/06/30 10:11

私の 0≦x≦2 ,0≦y≦1

は、(1,0)を中心とした円の上半分であることはわかるでしょう！
∮ 【x=0 → x=2】dx ∮ 【y=0 → y=1】3y dy
=∮ 【x=0 → x=2】(［3y^2 /2］【y=0 → y=1】)dx
=∮ 【x=0 → x=2】(3/2)dx=(3/2)・2=3

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/06/30 06:30

Dの領域は(1,0)を中心とした半径1の円の上半分ということはすぐわかると思います。

この場合、一番簡単なのはyで先に積分してしまうことです。
yの積分範囲は0≦y≦√(2x-x^2)ですので求める積分は
∫[x:0→2]dx∫[y:0→√(2x-x^2)] 3y dy
となります。
一見難しくしたように見えますが、3yを積分すると3y^2/2であり、√(2x-x^2)を代入するとルートがはずれ簡単な形になります。

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/06/29 20:18

x^2+y^2≦2x

x^2ー2x+y^2≦0
(xー1)^2+y^2≦1
∴ 0≦x≦2 ,y≧0より 0≦y≦1 …(1)
よって
∮ ∮ 【D】3y dx dy=∮3y・x dy=3xy^2 /2 より

(1)より、0≦y^2≦1
と 0≦x≦2
∴ 0≦xy^2≦2
∴ 0≦(3/2)xy^2≦(3/2)・2=3 …Ans

習ったことないが、これくらいは！59歳より