エンゲル曲線の証明

エンゲル曲線を証明してください。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• U=X1＾aX2^b
  a>0,b>0
  a+b=1
  X1に対エンゲル曲線が原点を通ることを証明せよ
  
  という問題です。

    補足日時：2017/07/24 12:20

• X1に対するです

    補足日時：2017/07/24 12:22

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/07/23 05:21

エンゲル曲線とは所得を縦軸に、当該財（問題にしている財）の需要量を横軸にとったときのグラフのことで、エンゲル曲線の何を証明するんでしょうか？？正常財（上級財）であれば、右上がりになるし、劣等財（下級財）であれば右下がりになる。

No.2 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/07/24 18:51

消費者の効用最大化問題を解く。

max U = X1^a・X2^b
s.t.
P1X1 + P2X2 = I 　　　　　　　 (*)

最大化の１階の条件は

MRS = P1/P2

が成り立つこと。ところで、与えられた効用関数のもとで限界代替率MRSは

MRS =∂U/∂X1/∂U∂X2 =(a/b)X2/X1

だから

(a/b)X2/X1＝P1/P2

よって

X2 = (b/a)(P1/P2)X1

これを予算制約（＊）に代入すると

P1X1＋(b/a)P1X1 =I
よって、
X1 =[ a/(a+b)](1/P1)I　　　　　　　　　　　　　　　　　　(**)
同様に
X2＝[b/(a+b)](1/P2)I 　　　　　　　　　　　　　 (***)

X1,X2を縦軸に、Iを横軸にとると、（＊）、（＊＊＊）はそれぞれ傾きが[a/(a+b)](1/P1), [b/(a+b)](1/P2)の、原点を通る直線であることを示している。

この回答へのお礼

分かりやすい解説をありがとうございました。

お礼日時：2017/07/24 21:56