b/a+c/d＝（bd+ac）/ad と b/a×c/d＝bc/adは b/aをb÷aの商と定義する

b/a+c/d＝（bd+ac）/ad
と
b/a×c/d＝bc/adは
b/aをb÷aの商と定義するだけで、あとは整数の四則演算のルールから論理的に導き出せる定理ですか？

No.6 回答者： funoe 回答日時： 2017/08/07 11:26

短い質問文から推理すると、有理数を整数の商として定義して、有理数における演算を証明（整数の性質から）できるかって意味なのかなぁ？

もしそうなら、No４さんご記載の
＞まだ定義されてもいない和や積に関して, 何かが論理的に導き出されるはずがありません
ですね。


整数の商として定義ってのも、ずいぶんに乱暴な話で、そこは好意的に、「整数の順序対として定義する」と解釈しますが、
じゃぁ、３÷２　と　　６÷４　って同じなの？どうなの？
2倍すると３になる数と、4倍すると６になる数を、無意識に同じ数だと思っているのならそれは間違い。
整数の世界に、2倍すると３になる数なんてないのだから、整数の性質をつかってこの２つが一致していることを示すことができない。

結局、「整数の商で表現される数の世界」で、「一致するとは」「足し算とは」「掛け算とは」というのものを定義してやる必要がある。



普通の中学生に、２乗するとー１になる数と、６乗するとー１になる数が同じかどうかわからないの一緒です。
普通の中学生は「そんな数はない（知らない）のだから、同じかどうかなんてわかんない」といいますよね。

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/08/05 10:57

>>こうやって、分数の計算を整数の範囲内でも成り立つように結合法則や交換法則が成り立つことを決めごととして１つずつ決めていくんですね。

そうですよ。
全ての分数演算規則が導かれます。
大学1年の教養課程でサラッと20分位で終わります。

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/08/04 19:04

こういう内容に興味があるなら,

集合論と代数系（どちらも基本事項のみで可）を学ぶ → N を構成する → Z を構成する → Q を構成する
という順番で勉強してください.
ここで非数学専攻者から独創的なことを教えられるよりも, 自分で学んだほうが絶対に納得できると思います.

N と Z を既知として -- なんてことは本当は反則ですが -- 今回の質問だけに答えるとしたら,
S = Z - {0} として, Z × S 上に関係 ～ を, (b, a) ～ (c, d) ⇔ bd - ca = 0 で定義します.
～ が同値関係になることは, 理解できますか.
商集合 (Z × S)/～ に Q と名前を付け, (b, a) の同値類を b/a と書くことにします.
そして, Q × Q から Q への写像 f, g を, f(b/a, c/d) = (bd + ca)/(ad), g(b/a, c/d) = (bc)/(ad) と「定義」します.
f と g が well-defined であることは, 理解できますか.
f と g により Q が体になることは, 理解できますか.

まだ定義されてもいない和や積に関して, 何かが論理的に導き出されるはずがありません.

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/08/04 17:33

分数演算は、分数の定義と、整数の演算規則が成立するものとして定めると言う事です。

そこから必然的に決まります。定理じゃ無くて決め事です。
定義と整数での約束毎だけから決まります。

a×(c/d)=(a×c)/dを例に摂ります。質問式はご自分で研鑽して下さい。

●分数の定義
①　a÷bをa/bと書く
これを掛け算の言葉で言い直すと
②　b倍したらaになる数をa/bと書く：式で定義すると(a/b)×b=a

①、②は全く同じ内容で、割り算の言葉か、掛け算の言葉かの違いです。

●a×(c/d)の演算を決める。
②より(c/d)×d=c

両辺にaを掛けると
(等式の両辺に同じ整数を掛けても等式は成立する）
(c/d)×d×a=c×a

左辺に乗法の交換法則と結合法則を適用すると
(c/d)×d×a=a×(c/d)×d

右辺に乗法の交換法則を適用すると
c×a=a×c

∴a×(c/d)×d=a×c

この両辺を0で無いdを割ると
(等式の両辺を0で無い同じ整数で割っても等式は成立する）
a×(c/d)×d÷d=(a×c)÷d

左辺はd倍してdで割るから、何もしないのと同じ
（割り算と掛け算は逆演算だから）
∴a×(c/d)=(a×c)÷d

この右辺は分数の定義①より(a×c)÷d=(a×c)/d
よって、a×(c/d)=(a×c)/d

この回答へのお礼

こうやって、分数の計算を整数の範囲内でも成り立つように結合法則や交換法則が成り立つことを決めごととして１つずつ決めていくんですね。

お礼日時：2017/08/05 08:34

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/08/04 16:04

いいえ.

少なくとも「商」というものに対する「+」と「×」を定義する必要があります.

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2017/08/04 15:50

b/a+c/d＝（bd+ac）/ad　…単なる通分

b/a×c/d＝bc/ad　…書き直しているだけ
b/aをb÷aの商と定義するだけで、　…書き方の問題
定理と言うものではなく、計算できる能力が重要かと思います。