指数関数、対数の定義

ジャンル違いだったみたいなので再度投稿します。
（大学受験のジャンルに投稿しました）

指数関数の微分の証明のなかで次のような式変形（？）についてですが、

a^x = e^log(a^x)　・・・・（＊）

いろいろな本（参考書）やネットの解説を見ましたが、
当然のように流しています。また、「対数の定義」よりなどと
書かれているだけです。

この（＊）の左辺から右辺への変形は暗算でできるような
簡単なものなのでしょうか。


いろいろ考えて以下のように変形しました。

a^x=t　とおいて、
対数の定義より
loga(t)=x

底の変換公式から（底をeに変換）
log(t) / log(a) =x

両辺にlog(a)をかけて
log(t) = xlog(a)

ここで再度、対数の定義から
e^xlog(a) = t　・・・（１）

t=a^xと初めにおいているので（１）に代入して
e^xlog(a) =a^x
すなわち
e^log(a^x) =a^x

あっていると思うんですが、参考書やネットの解説で
簡単に流しているところをみると、
上記のような大変な作業をしているとは思えません。

（＊）のように、一発で当然のようにされている
方法を教えていただけないでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 

  ご回答ありがとうございます。
  
  　すみませんが、
  「Cがeの何乗かを表しているので、e^ln(C)＝Cとなります」
  
  正直ここがわかりません。
  
  Cがｅの・・・ので、・・・となります。
  
  だからどうして、いっきに　e^ln(C)＝Cになるのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/08/07 01:48

• ご回答ありがとうございます。
  
  逆関数での部分については理解できるのですが、ちょっと置かせていただきます。
  
  ご回答の、後半部分「または」からですが
  ｃのところを最初からa^xとおくとたしかに質問の（＊）の等式が成り立っています。
  これも理解はできました。ありがとうございます。
  
  しかしながら、上記のご説明は
  a^x = e^log(a^x)　・・・・（＊）
  この等式を　右辺から左辺に向かって式変形・導出していることになりませんでしょうか。
  
  （＊）式で、右辺が全く示されていないところから（左辺だけ与えられているとして）、
  左辺から右辺をどうやって導き出せるかです。それも高校参考書に記述がないところを見ると
  常識のできごととして扱われているようなのですが、（＊）が等しいことはご回答の後半部分で
  わかりましたが、左辺から右辺へ向かってどういう常識で導き出したんでしょうか。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/08/07 19:01

• まず、具体例をだされたら・・・とありますが、何についての具体例でしょうか、よくわかりません。
  
  左辺から右辺へ（数学ができる人の）常識として（当然、）当たり前の式変形が
  わからないと申し上げてます。
  
  「t=a^x 」と書かれてますが、
  
  →　a^x=t　と左辺から頭に書いていただかないと、
  これだけで30分悩む。なぜ突然ｔ＝が出てくるのか？
  
  次、「両辺ともに正なので」、両辺の対数をとれるから（ここで1時間以上悩みました）
  ∴ log(e)t=(loga^x)
  
  『対数の』定義より、eを底とする指数の形に直すと
  e^log(a^x)=t
  
  ここで、a^x＝ｔ　とおいたので
  ｔにa^xを代入して
  e^log(a^x)=a^x
  両辺を入れ替えて
  a^x＝e^log(a^x)
  
  これだけのすごいことを参考書は無視しているということですね。
  信じられません。
  本当にこれが正解でしょうか。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/08/07 22:25

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/08 10:18

まず、具体例をだされたら・・・とありますが、何についての具体例でしょうか、よくわかりません。

→貴方の参考書に書いてある例題等です。

左辺から右辺へ（数学ができる人の）常識として（当然、）当たり前の式変形が
わからないと申し上げてます。

「t=a^x 」と書かれてますが、

　a^x=t　と左辺から頭に書いていただかないと、
これだけで30分悩む。なぜ突然ｔ＝が出てくるのか？

→ = なので、どちらでも同値であること。また、左から書くことで、説明が多くなるし、
行が増えてしまう。
つまり、参考書には、紙面の都合があるので、どうしても、言われているように
皆さんがわかるであろう常識のような部分は省略するからで、学力の高い人を想定しているからです。

次、「両辺ともに正なので」、両辺の対数をとれるから（ここで1時間以上悩みました）

→そのとうりです。両辺が底が1以上の、eをとっています。

∴ log(e)t=(loga^x)

『対数の』定義より、eを底とする指数の形に直すと
e^log(a^x)=t

ここで、a^x＝ｔ　とおいたので
ｔにa^xを代入して
e^log(a^x)=a^x
両辺を入れ替えて
a^x＝e^log(a^x)

→そのとうりです。

これだけのすごいことを参考書は無視しているということですね。
信じられません。
本当にこれが正解でしょうか。

→そう思います。今までの数字の常識的な部分は、敢えて説明を省いています。
両辺に対数をとることは、みてわかるから説明は不要、勿論代入、入れ替えも！
高校数学では、普通と思います。
微積分では、計算力が非常に必要になってきますから、省略していかないと、きっと
これからつまずかれるのではないかと危惧しますね！
高校数学は計算力が必要な部分多いですから！例えば、三角形の面積やいろんな面積、体積が、考え方は簡単だが、その代わりに、計算は大変になりますからね！

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/07 19:42

t=a^x

∴ log(e)t=(loga^x)
定義より e^log(a^x)=t=a^x

2ステップですが、貴方のほうから、具体例をだされたらいいと思いますが！

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/07 15:37

対数関数は、指数からでてきて、指数関数の逆関数です。

ですから、
y=e^x=f(x)とすると
対数関数は、y=logx=f-1(x)
ですから、貴方の提示された関数は、
合成関数ですから、
y=e^log(a^x)=f(f-1(a^x)))=a^x
微分と積分の関係と同じですね！
または、
e^log(c)=t とおくと
対数の定義より
log(c)=log(e) t=log t ∴ c=t
よって、e^log(a^x)=a^x

No.2 回答者： lupan344 回答日時： 2017/08/07 03:10

補足ありがとうございます。

ln（C）＝aとすると、e^a＝Cが、lnの定義です。
つまり、ln(e^a)＝aとなるわけです。
同様に、a^xは、ln(a^x)を使えば、e^ln(a^x)＝a^xとなります。
→ln(a^x)＝bとおくと、e^b＝a^x、e^ln(a^x)＝a^xです。
これを覚えていれば、lnの定義から、いっきに求められる事になります。

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2017/08/07 01:35

ln(C)は、Cがeの何乗かを表しているので、e^ln(C)＝Cとなります。

（logだと、通常は10を底とする常用対数を表すので、eを底とする自然対数をlnと表しています）
別に底の変換公式を使う必要は無いです。