高校入試の数学の問題で

高校入試の数学の問題で添付の画像のような問題があります。
回答をみると、全体の体積から
三角錐ＤＡＨＣ，ＢＡＦＣ，ＧＣＨＦ，ＡＰＦＣ,ＣＡＰＨ,ＰＥＦＨをひけばよいとの
ことなのですが、ＧＣＨＦとＰＥＦＨ以外は時間をかけてもなかなか頭のなかに描けません。
制限時間もありますし、こういう問題はぱっと見て思い浮かばない場合は、捨てたほうが
よいのでしょうか？
立体図を頭の中に思い浮かべる秘策なんてあるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/19 23:48

これ大学で線形代数習えば瞬殺なんだよね。

中学生は大変だな。

手順は中学生にとっても簡単。

まず、Hを原点、HE、HG、HDをそれぞれX、Y、Z軸として
P、C、Fの座標を求める
(6,0,3)
(0,6,6)
(6,6,0)

これを行列とみなして行列式を計算すると、サラスの公式を使えば
-108-216=-324

これの絶対値の1/6が三角錐の体積なので 54。

と、面倒なことは何も考えず、機械的に計算出来ます。
つまり、実は三角錐の体積は各頂点の座標値から簡単に
求めることができる。

http://mathtrain.jp/sarrus_formula

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2017/08/24 23:58

No.7 回答者： hiccup 回答日時： 2017/08/21 15:07

簡単に捨てちゃいけませんね。

これは中学１年生レベルの解答です。だからこそ（といっていいと思いますが）そういう解き方になっているのだと思います。
体積の出し方が引き算的なところがちょいムズになっていて、「こういう発想も大事！」ってことでもあります。

正比例を応用すると、三角すい C-EFH の体積の 3/2 倍だ！という計算でも出せるでしょう。
つまり、解き方はいろいろあるということです。
高校入試ですから、これから習う相似や三平方の定理を使っても求めることができます。
いろんな手段があるのです。簡単に捨ててはいけません。

でも、この解き方で学ぶべきことは、「図形を引き算的に見るという発想です。言い換えれば、求積可能な図形の引き算的組み合わせを発見することです。
そのような発想で解ける問題は他にもあるので、出くわしたら分類・整理しておくといいと思います。


それから、錐体は、頂点と底面をはっきりさせるといいですよ。
目的によりますが、この場合は D-AHC と見るより C-ADH とした方が体積がわかり易いです。
また、図で、四角すい C-APHD と C-APFB が見えるようになるといいですね。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2017/08/24 23:57

No.6 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2017/08/21 09:25

一つの立体図からでは実際のイメージが掴めないとすれば、幾つかの方向からの立体図にしてみたり、三面図を起こしてみるとわかりやすくなると思います。

その上で、時間制限のある試験においては、
１）すぐに解けそう
２）時間をかければ解けそう（計算などがめんどくさそう）
３）時間をかけても解けるかどうかあやしい
という順序付けは重要です。

したがって、捨てるかどうかは別にして、後回しにするというのは好ましい方法かもしれません。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2017/08/24 23:57

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/20 13:31

まあ、AN03の方法は中学時代先生にこっそり検算用に

教わったんですけどね。

質問の問題のように、計算過程を求めない問題なら
使用しても問題ないでしょう。

3次元空間感覚を磨く方法として、私は3次元グラフソフトを
使うことが多いですね。グリグリ動かして
眺め回すと大部楽に構造が見えます。回して見るというのは
かなり強力です。

中学生には難しいとは思いますが、GNU PLOT はただなので
学生でも気兼ねなく使えます。

https://www.nakamuri.info/mw/index.php/GNUPLOT

3次元GRAPE とかもよいかも。

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2017/08/24 23:58

No.4 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/08/20 01:32

数学っていう教科は、中学から大学まで、基本的には、ちゃんと一歩ずつ真面目に勉強すれば、必ず誰でもできるようになるものなんですが、唯一の例外と言える単元が、中学の初等幾何、だと思います。

初等幾何は、数学のほかの単元とは全く異質でつながっていない単元でして、センスというか才能みたいなものが、必要だと思います。
とくに、空間図形をイメージできるかっていうのは、一種の才能みたいのがあって、思え浮かべない人はどうやってもできるようにならないところがあるので、もし、自分に全く才能がないと思うなら、捨ててしまったほうがよいような気もします。

＃３の方も言っていますが、実は、高校・大学と進んでいくと、空間図形をイメージできる才能がない人でも、簡単に空間図形を扱えるようになる「道具」をたくさん習います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。捨てて他の問題を確実に拾うほうが賢明ですね。

お礼日時：2017/08/20 01:45

No.2 回答者： springside 回答日時： 2017/08/19 23:19

こういうのは、問題を数多く解いて慣れるしかないでしょう。

数分考えても思い浮かばなければ捨て問題にしてもいいと思いますが。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2017/08/20 00:37

No.1 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/08/19 20:45

慣れみたいなもんです。

立体をどこで分ければ(切れば)三角錐などの
体積を求めることが出来る図形だけにできるか
考えます。
でも、
苦手分野であれば、
最後に解くことにするといいでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2017/08/19 22:29