円順列について、 例えば、a,b,c,dを円形に並べるとき、一つを固定し、残った三つの順列を考えると

円順列について、
例えば、a,b,c,dを円形に並べるとき、一つを固定し、残った三つの順列を考えると、並べ方の総数がわかるらしいのですが、なぜ固定して考えると上手くいくのですか？暗記は避けたいです。解説をよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ji6 回答日時： 2017/09/17 09:12

いくつかの並べ方があるときに、それらが異なる並べ方かどうかを調べるためには、並べ方を比較するための基準が必要です。

一列に並べるような場合は、左端を基準にして配列を比較することができます。(左端でなくても可)

円形に並べるときは、a,b,c,d のどれか１個を基準としなければ円形の配列の比較ができません。そこで、例えば a を基準とします。その基準 a に対しての残りの b,c,d の異なる並び方を考えることで、異なる円順列の数が求まります。

「円順列では、１つは基準とし、残りをその基準に対して並べていく」と考えます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/17 10:00

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/09/16 23:25

「円形」ですから、

　A-B-C-D
　B-C-D-A
　C-D-A-B
　D-A-B-C
は「同じ並び順」になります。円形がぐるぐる回って違うように見えるだけです。

だから「１つを固定する」のです。
上の例では、「A」を固定すれば、残った３つは「円でつながっていれば同じ並び順」ですよね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/17 10:01

No.1 回答者： bilateraria165 回答日時： 2017/09/16 23:24

下記の解説でご理解いただけるか不安ですが・・・

普通の順列、例えば一直線上にa,b,c,dを並べる場合には一番目、二番目、三番目、四番目があります。
その場合の並べ方の総数は、4×3×2×1と計算しますが、これは並び順の
一番目は4パターン
二番目は（一番目以外の）3パターン
三番目は（一、二番目以外の）2パターン
四番目は（一、二、三番目以外の）１パターン
という全てのパターンを計算することと同じです。

しかし円状に並べる場合には、一番目、二番目、三番目、四番目が「明確に決められません」。
というのも同じ並べ方を見ていても、どこが一番目なのか？二番目なのか？が直線上に並べるときと違って明らかでないためです。

そのため「ここが一番目」と任意に決めてしまいます。
時計で例えれば、数字の書いていない丸時計の「ここが12時」と決めてしまえば、残りの1〜11時の場所は勝手に決まりますよね。
ただ時計と違って、a,b,c,dを円状に並べる全ての総数を求めるならば、固定したもの以外の3つの順番を決める必要があります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/17 10:01