最小値

a ∈ R は　定数, x^4 + 2 a x^2 - a + 2 の最小値を求めて下さい

No.1 回答者： NoahsArk 回答日時： 2017/10/03 17:17

二次関数であればいつも扱うような問題・・・というひらめきが大事です。

[x^2=t　とおきます。xは任意の実数なので、t≧0
f(t)=t^2+2at-a+2
平方完成をし
f(t)=(t+a)^2-a^2-a+2　→　軸　t=-a]

ここで下に凸な二次関数がかけることはわかると思いますが、横軸のtが0以上のところでグラフを見ないといけません。
そのグラフの最小値ですが、①軸:t=-aが負の位置にある場合　②軸が正の位置にある場合　で最小値を取りうる点の候補が変わってくることがわかると思います。以上の二択が候補なので、場合分けに移ります。

[①　軸: -a<0　つまり　a>0　の時

　グラフを書くと　t=0　つまり　x=0　で最小値　f(0)=-a+2

②　軸: -a≧0　つまり　a≦0　の時
　
　グラフを書くと　t=-a つまり　x=±√(-a)　で最小値 f(-a)=-a^2-a+2　「←f(t)の関数にt=-aを代入しました」

　をとる]

以上中かっこで括ったところが解答になります。

No.2 回答者： he-goshite- 回答日時： 2017/10/03 17:40

＞a ∈ R は　定数,

というのは，「aは実数の定数」という意味ですか？
また，ｘは実数ですか？
　
　
X＝x^2　と置くと，
X^2＋2aX+a^2-(a^2-a+2) 　ただし　X≧０
の最小値を求める問題に読み替えることができる。
つづきはご自分でどうぞ