「二つの相似形の円錐AとBがあります。 Aの高さをa、Bの高さをbとすると、AとBの低面積の比は(a

「二つの相似形の円錐AとBがあります。
Aの高さをa、Bの高さをbとすると、AとBの低面積の比は(a^2:b^2)となる。」
これを証明してください。よろしくお願いします。

No.4 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/11/06 15:59

数式的な証明はNo.1のかたがされているので、

考え方を説明しておきましょう。


円錐を横から見ると三角形に見えます。
この三角形の頂点から底辺に垂線を下すと、
<直角>を<円錐の高さ>と<円錐の底面の半径>で挟んだ
直角三角形になります。

二つの相似形の円錐AとBがあるとのことなので、
当然、円錐AとBから作り出した直角三角形も相似になります。
都合上この二つの直角三角形A',B'としておきます。

Aの高さをa、Bの高さをb とすると、A'の高さもa、B'の高さもb です。
ですので、相似の三角形A',B'において、辺の比はa:bになります。

仮にA'の底辺をrとおけば、
a:b=r:x
x=rb/a
より、B'の底辺はr・b/a です。

このとき、r は円錐Aの底面の半径でもあるから円錐Aの底面積は πr²、
r・b/a は円錐Bの底面の半径でもあるから円錐Bの底面積は πr²(b/a)²
になります。

したがってAとBの底面積の比は、
<円錐Aの底面積>：<円錐Bの底面積>
=πr² : πr²(b/a)²
=1 : b²/a²
=a² : b²
ということになります。


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考え方が理解できていれば、上のように長々と説明する必要はありません。
相似であることと辺の比がa:bになることから、半径もa:bになり、
結果として底面積の比がa²:b²となるのです。

No.3 回答者： kawano_medaka 回答日時： 2017/11/06 11:26

その比をaとすると

長さは比そのままa、面積はa×a=a²、体積はa×a×a=a³
お尋ねの件は高さがa:b　当然底部の半径または直径もa:b 底面積はπ×r²　
仮に半径の比がa:b なら面積はπ×a²:π×b²=a²:b²........以上です。

No.2 回答者： サワイ 回答日時： 2017/11/06 11:23

円錐だけでなく、相似な形の面積比って、長さの2乗比になりますよ。

ちなみに体積比は3乗比になります。

粘度でできてる相似な物体を、立方体に造り変えると考えてみたら理解しやすいです。

証明は、既に回答がありますが公式を使えばできますね。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/11/06 11:17

Aの底辺半径をxと置けば、Bの底辺半径はx･b/a

底面積はx²、x²･b²/a²

底面積比率はx²：x²･b²/a² = x²･a²：x²･b² = a²：b²