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次の二次関数をy=a(x-p)²+qの形に変形しなさい

❶ y=2x²-8x+5

❷ y=-x²+4x-4

❸ y=-2x²+4x+5


何時間考えてもわからないです。
途中式の説明も含めて、教えて欲しいです

A 回答 (3件)

y=a(x-p)²+q の形に変形しなさい


では、上の式を展開すると
y=ax²-2apx+ap²+q ですね。これをy=a(x-p)²+q の形に変形するのです。
それを考えれば、ご質問の①②③は解決します。
y=ax²-2apx+ap²+q=a(x²-2px)+ap²+q=a{(x-p)²-p²}+ap²+q=a(x-p)²-ap²+ap²+q=a(x-p)²+q
いかがですか?
これには、a²±2ab+b²=(a±b)² の公式を使います。


❶ y=2x²-8x+5=2(x²-4x)+5=2{(x-2)²-4}+5=2(x-2)²-8+5=2(x-2)²-3

以下同様にできます。頑張ってネ
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考えてもわかりません。

手を動かして式を変形しなければ。

「y=a(x-p)²+qの形」って、これを展開すれば
 y = ax^2 - 2apx + ap^2 + q   ①
だよね?

❶ y=2x²-8x+5
 ①式で
  a = 2
  2ap = 8 → a=2 なので p=2
  ap^2 + q = 5 → a=2、 p=2 なので q=-3
ということですよ?

❷ y=-x²+4x-4
なら
  a = -1
  -2ap = 3
  ap^2 + q = -4
だ。
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❶ y=2x²-8x+5



y=2(x²-4x)+5
y=2{(x-2)²-4}+5
y=2(x-2)²-8+5

よって、y=2(x-2)²-3

他も同じです。
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これが
y=(x-2)2乗-4-5
y=(x-2)2乗-9
になるそうです。
が、さっぱりわかりません。
大人でしてすっかり忘れてしまいました。
どうしてこうなるか教えてください。

Aベストアンサー

問題文は (x + a)^2 でなくて、(x - a)^2 なので、

その図も描きました

「そのくらい、わかる! バカにするな!」

とか思っちゃったら、ゴメンなさい

Q二次関数 y=ax^2+bx+c を y=a(x-p)^2+q の形にするには?

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参考書に書いてある解説を読んでも理解できません。

y=a(x-p)^2+q の形にしてしまえば、それからグラフを描けるんですが
どうすれば
y=a(x-p)^2+q の形に出来るのか分かりません。

教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

最初は具体例から考えましょうか。
「y=2x^2-4x+3をy=a(x-p)^2+q の形にせよ」
まず、xの積の形になっている項と、定数項は分けて考えましょう。すなわち、
y=2x^2-4x+3
=(2x^2-4x)+3 (←ただカッコでくくっただけです)
次に、x^2の係数をくくりだしましょう。すなわち、
y=(2x^2-4x)+3
=2(x^2-2x)+3 (←2をくくりだしました)
このあとがミソです。()の中の項、x^2-2xに注目してください。
xの係数、つまり-2を2で割って2乗した値(-2/2)^2=1を足して、引いてください。すると、
x^2-2x=x^2-2x+1-1  …(i)
となりますね。ただ同じ数を足して引いた(結局0)だけです。
しかし、よく見てください。(i)の右辺には、x^2-2x+1がありますね?これは、
x^2-2x+1=(x-1)^2
です!!(ここまでくればできたも同然)よって、
x^2-2x=(x-1)^2-1
となります。あとはこれをyの式に代入してあげましょう。
y=2(x^2-2x)+3
=2{(x-1)^2-1}+3  …(ii)
ここで、目的を再確認しましょう。今目指しているのはy=a(x-p)^2+qの形ですね。となると、(ii)の大カッコの中の-1が邪魔ですね。邪魔なら、出してしまいましょう。すなわち、
y=2{(x-1)^2-1}+3
=2{(x-1)^2}-2+3 (←-1を大カッコから出すときは2をかけるのを忘れずに)
=2{(x-1)^2}+1
これで、y=a(x-p)^2+qの形(a=2,p=1,q=1)になりましたね。

一般に、y=ax^2+bx+c(a≠0)の場合でも、
y=a{x+b/(2a)}^2-(b^2)/(4a)+c
と変形できます。これは上の例を参考にご自分で導出してみましょう!!

最初は具体例から考えましょうか。
「y=2x^2-4x+3をy=a(x-p)^2+q の形にせよ」
まず、xの積の形になっている項と、定数項は分けて考えましょう。すなわち、
y=2x^2-4x+3
=(2x^2-4x)+3 (←ただカッコでくくっただけです)
次に、x^2の係数をくくりだしましょう。すなわち、
y=(2x^2-4x)+3
=2(x^2-2x)+3 (←2をくくりだしました)
このあとがミソです。()の中の項、x^2-2xに注目してください。
xの係数、つまり-2を2で割って2乗した値(-2/2)^2=1を足して、引いてください。すると、
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