二次関数 y＝ax^2+bx+c を y＝a(x-p)^2+q の形にするには？

二次関数 y＝2x^2－4x+3 や y＝-x^2+3x-1 などを
y＝a(x-p)^2+q の形にしたいんですが
参考書に書いてある解説を読んでも理解できません。

y＝a(x-p)^2+q の形にしてしまえば、それからグラフを描けるんですが
どうすれば
y＝a(x-p)^2+q の形に出来るのか分かりません。

教えてください。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： tksmsysh 回答日時： 2009/07/08 14:18

最初は具体例から考えましょうか。

「y＝2x^2-4x+3をy＝a(x-p)^2+q の形にせよ」
まず、xの積の形になっている項と、定数項は分けて考えましょう。すなわち、
y=2x^2-4x+3
=(2x^2-4x)+3 (←ただカッコでくくっただけです)
次に、x^2の係数をくくりだしましょう。すなわち、
y=(2x^2-4x)+3
=2(x^2-2x)+3 (←2をくくりだしました)
このあとがミソです。()の中の項、x^2-2xに注目してください。
xの係数、つまり-2を2で割って2乗した値(-2/2)^2=1を足して、引いてください。すると、
x^2-2x=x^2-2x+1-1　　…(i)
となりますね。ただ同じ数を足して引いた(結局0)だけです。
しかし、よく見てください。(i)の右辺には、x^2-2x+1がありますね?これは、
x^2-2x+1=(x-1)^2
です!!(ここまでくればできたも同然)よって、
x^2-2x=(x-1)^2-1
となります。あとはこれをyの式に代入してあげましょう。
y=2(x^2-2x)+3
=2{(x-1)^2-1}+3　　…(ii)
ここで、目的を再確認しましょう。今目指しているのはy＝a(x-p)^2+qの形ですね。となると、(ii)の大カッコの中の-1が邪魔ですね。邪魔なら、出してしまいましょう。すなわち、
y=2{(x-1)^2-1}+3
=2{(x-1)^2}-2+3 (←-1を大カッコから出すときは2をかけるのを忘れずに)
=2{(x-1)^2}+1
これで、y＝a(x-p)^2+qの形(a=2,p=1,q=1)になりましたね。

一般に、y=ax^2+bx+c(a≠0)の場合でも、
y=a{x+b/(2a)}^2-(b^2)/(4a)+c
と変形できます。これは上の例を参考にご自分で導出してみましょう!!

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2009/07/08 14:02

a(x-p)^2+qを展開してax^2+bx+cと見比べてみてください。