No.4
- 回答日時:
式の書き方が悪いので誤解されますが、正しくは
a = (5 + √7)/(3 - √7)
ですよね?
どこまでが分子で、どこまでは分母か、きちんと「カッコ」で明示しないと
a = 5 + (√7 /3) - √7
にしか見えません。
上のとおりなら、
a = (5 + √7)/(3 - √7)
= [ (5 + √7)(3 + √7) ] / [ (3 - √7)(3 + √7) ] ←分子・分母に「3 + √7」をかける
= [ 15 + 8√7 + 7 ] / [ 9 - 7 ] ←すると分母のルートがなくなる
= (22 + 8√7) / 2
= 11 + 4√7 ①
ここまでは分かるのですか?
次に、あたりを付けてみると
2 = √4 < √7 < √9 = 3
より
2 < √7 < 3 ②
を①式に代入すれば
11 + 4×2 < a < 11 + 4×3
→ 19 < a < 24
あとは、各々の数と「引き算」をして「正負」を見るか、「割り算」をして「1より大きいか小さいか」によって大小を判断します。
「引き算」でやってみると
・a - 23 = 11 + 4√7 - 23
= 4√7 - 12
= 4(√7 - 3)
②より √7 - 3<0 なので a < 23
・a - 22 = 11 + 4√7 - 22
= 4√7 - 11
こんどは「分子の有理化」のために、分子・分母に「4√7 + 11 > 0」をかけて
a - 22 = (4√7 - 11)(4√7 + 11) / (4√7 + 11)
= (112 - 121) / (4√7 + 11)
= - 9/(4√7 + 11)
分母は >0 なのでこれは a - 22 < 0 つまり a < 22
・a - 21 = 11 + 4√7 - 21
= 4√7 - 10
同様に「分子の有理化」のために、分子・分母に「4√7 + 10 > 0」をかけて
a - 21 = (4√7 - 10)(4√7 + 10) / (4√7 + 10)
= (112 - 100) / (4√7 + 11)
= 12/(4√7 + 11)
分母は >0 なのでこれは a - 21 > 0 つまり a > 21
これで「21 < a < 22」が確定しますね。
「スマートに解くこと」だけでなく、ときには「泥臭く解く」ことも必要なのです。
No.3
- 回答日時:
分母の有理化、が分からないんですよね?
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
を使います。
http://manapedia.jp/text/2469
x<a=11+4√7
が分からないというなら、小学生レベルになってしまうのですが。
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