下の問題を教えてください！ 原点で垂直に交わる傾きが0でない2直線と放物線y=x^2の原点以外の交点

下の問題を教えてください！



原点で垂直に交わる傾きが0でない2直線と放物線y=x^2の原点以外の交点をA.Bとする。距離ABの最小値を求めよ。

No.2 回答者： jyuguritto 回答日時： 2017/11/15 16:32

直線をy1₌axとすると直交するy2＝-1/ax

それぞれの交点ｐ、ｑは
ｐ=y1
x²＝aｘ
x(x-a)=0......x=0、x=a
p=y1
ｘ²＝-1/ax
x(x+1/a)＝0......x=0、x=-1/a

ｐ、ｑ点の座標はｐ（a,a²)、ｑ（-1/a,1/a²)
線分A-Bの傾きは　yの増分/ｘの増分　(a²-1/a²)/(a-1/a)＝(a∔1/a)(a-1/a)/(a-1/a)＝a+1/a
交点を結ぶ直線ｍは
m=(a+1/a)ｘ∔c
cとは　交点ｐ、あるいはｑの座標を入れて求める。
ｐ点を代入すると、a²＝(a+1/a)a+ｃ＝a²+1+ｃ
c=1
m=(a+1/a)ｘ+1これはy軸の1を支点とした直線であると言える。

ここで図を見るとaの変化を見ることができる。
最小値はｍの傾きが0の時　a+1/a=0　a=±1
y1=±x

以上です　　変なところがあれば質問どうぞ。

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/11/14 23:44

下図を見てください。

直線OBの式をy=axとすると、直角に交わることから、直交条件よりOAの式は図のように表せます。

なので、Aの座標は(－1/a,1/a^2)、Bの座標は(a,a^2)となるので、

AB^2＝(a＋1/a)^2＋((a^2)－(1/a^2))^2＝a^4＋a^2＋1/a^2＋1/a^4

ここからが少しトリッキーですが、

相加相乗平均の関係より、

a^4＋1/a^4≧2(等号はa=±1)

a^2＋1/a^2≧2(等号はa=±1)

よって、AB^2の最小値は2+2=4となるので、ABの最小値は2。

相加相乗を別々にして足し合わせるのは基本ダメですが、今回は大丈夫です。

その理由は何か？