半径R,面密度σの1/4円板の重心を求める問題なんですが、 何故、y= R+rsinθ、変数の範囲が

半径R,面密度σの1/4円板の重心を求める問題なんですが、
何故、y= R+rsinθ、変数の範囲が-3/4π≦θ≦-1/4π
になっているのでしょうか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/26 00:41

そもそも、これが何を計算しているのか、分かっているのですか？

重心位置は、図のように書けば x 軸方向に「左右対称」なので、重心は y 軸上（ (1/4) 円の中心角 45° の半径上）にあることは分かります。では、中心からいくつのところ、図では y 座標がいくつのところに重心があるか、というのを求めます。
通常、一番直感的に分かりやすいのは、x 軸方向に力が働いたときのの「力のモーメント」を考えて、
・各微小部分の力のモーメントを合計したもの
と
・全部の力が重心に働いたときの力のモーメント
が等しくなればよいのです。それが「重心」ということですから。

画像に書かれている計算式は、どうやら、図の状態から (1/4) 円を上下反転させ、「円弧の中点」が原点にあるようにして、かつ角度 θ は (1/4)の中心角を x軸正方向を基準に測っているようですね。何でそんな面倒なことをするのか分かりません。

なので、私なりの解き方を示します。

図のような扇形に対して、半径 r ～ r+dr、角度 dθ （y 軸から ±45° で考える）の微小面積を考えると、その質量は
　dm = σ*rdθ*dr
になります。x 軸正方向に重力がかかっているとすれば、重力加速度を g として、x 軸からの距離（腕の長さ）は r*cosθ なので、原点周りの力のモーメントは、時計回りに
　dM = dm*g*r*cosθ = σ*g*r^2*cosθdθ*dr
この微少面積を扇形全体で合計するには、r:0→R、θ:-45°→45° で積分して
　M1 = ∫[r:0→R]∫[θ:-45°→45°]dM = ∫[r:0→R]∫[θ:-45°→45°]σ*g*r^2*cosθdθ*dr
　　= σ*g*∫[r:0→R]r^2*dr*[sinθ][θ:-45°→45°]
　　= √2 *σ*g*∫[r:0→R]r^2*dr
　　= √2 *σ*g*[r^3 /3][r:0→R]
　　= (√2 /3)σ*g*R^3

一方、扇形全体の質量は、
　　(1/4)パイR^2 * σ
であり、重心の原点（1/4 円の中心）からの距離を L とすると、原点周りの力のモーメントは、時計回りに
　　M2 = (1/4)パイR^2 *σ*g*L

M1 = M2 となる L は
　　(√2 /3)σ*g*R^3 = (1/4)パイR^2 *σ*g*L
より
　　L = [4√2 /(3パイ)]R


手書きの解き方の座標のとり方では、1/4 円の中心が「y=R」の位置にあるので、重心の y 座標が
　　yG ＝ R - L = [ 1 - 4√2 /(3パイ) ]R
となっていますね。
とても分かりにくい・・・。