高校2年数B、ベクトル図形についてです。 【問】△ABCにおいて、辺BCの中点をD、線分ADを4：1

高校2年数B、ベクトル図形についてです。


【問】△ABCにおいて、辺BCの中点をD、線分ADを4：1に内分する点をE、辺ABを2：1に内分する点をFとする。

⑴3点C,E,Fは一直線上にあることを証明せよ。



解説を読んでも全く分かりません。

なぜAD→が出てきたのでしょう？
そして、なぜ2分のAB→+AC→になるのでしょう？



分かりやすい解説の方をよろしくお願いします！！！

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/11/28 13:47

ベクトルの矢印は基本的に省略

CE=実数ｘCF (あるいは　始点をかえてFE=実数ｘFEなど）
が示されれば3点は同一直線上にあると言えます

そこで、CE=実数ｘCFを示しに行こうとするわけですが、内分点の公式を用いたり位置ベクトルを用いてCEやCFを変形してやろうという考え方が浮かぶのは自然な発想だと思います。
ここで、題意からF,Eの内分位置に関する情報にはAが関与しています
（FはABの内分点、EはADの内分点）　
ということで、始点（基準点）をAにすると話が早そうだ　という事になるわけです
（始点をA以外にしても解けるかもしれませんが、苦労する事になると思います）
Aを始点・基準点に決めた時、次にすることは登場するベクトルをA経由で書きかえることです
CE=CA+AE=AE-AC…①
CF=CA+AF=AF-AC…②
でも①②ではまだ「CE=実数ｘCF 」に結びつかないのでさらに変形です
その際、AEやAFという形のままでも良いですが、簡潔に位置ベクトルくを用いるのも良いです
AB=b
AC=c
AD=ｄとすれば
図から
AE=(4/5)AD=(4/5)d
内分点の位置ベクトルの公式から
d=(b+c)/2
というのも、分点の公式は
「線分BCをm:nに内分する点をPとすれば
位置ベクトルAP=pとAB=b,AC=cを用いて
↑p={n(↑b)+m(↑c)}/(m+n)」
なので中点に関してはm:n=1:1として
中点p=(1b+1c)/(1+1)=(b+c)/2です
中点pとはｄのことなので
pを置き換えてd=(b+c)/2
（ちなみに、これをAを始点とするベクトルで書きなおせば、AD=(AB+AC)/2）
これらを合わせて、AE=(4/5)d＝(4/5)(1/2)(b+C)=(2/5)(b+c)
このことから、
CE=AE-AC=(2/5)(b+c)-c=(2b-3c)/5
=(1/5)(2b-3c)
=(1/5)h
ただしh=2b-3c

同様に位置ベクトル（小文字のベクトル）に書きかえると
AF=(2/3)AB=(2/3)bだから
CF=AF-AC＝(2/3)b-c
＝(1/3)2b-(3/3)c
=(1/3)(2b-3c)
=(1/3)h

これで、ADとCFが実数倍の関係であることが確認できるようになったというわけです
(・・・　|CE|:|CF|=|h|/5:|h|/3=３：５　だから　CE=(3/5)CF)

という事で、①でAEが出てきて、AE:DE
ひいてはAE:ADが分かっていることからADが登場するのは必然です
また、2分のAB→+AC→　は内分点（特に中点）の公式です

あとは、この考え方を順番整理して（およそ逆順にたどって）記述するだけですから、画像のような答案ができます

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/11/28 12:01

＞なぜAD→が出てきたのでしょう？

最終的に、→CE、→CF （あるいは →EF）の関係を見たいわけです。
「一直線上にあることを証明」するには、同じ成分を持つベクトルであることをいえばよいので。

そのためには
　→CE ＝ →AE - →AC
ですから（ベクトルを分解すれば →AE = →AC + →CE なので）→AE を求めたいわけで、そのために →AD が必要なのです。

＞そして、なぜ2分のAB→+AC→になるのでしょう？

ちゃんと書かないと正確に伝わりませんよ。
これは
　→AD = (→AB + →AC)/2
の意味ですね？　これはベクトルの合成で公式とも言ってよいほどのものですよ。
（ベクトルを合成すれば、その２つのベクトルが作る「平行四辺形」の対角線になりますね？　ADはちょうどその半分ということ）

詳しく書けば
　→AD = →AB + →BD
で、
　→BD = (1/2)→BC
ですから
　→AD = →AB + (1/2)→BC　　　①

同様に
　→AD = →AC + →CD
で、
　→CD = (1/2)→CB = -(1/2)→BC
ですから
　→AD = →AC - (1/2)→BC　　　②

① + ②で
　2→AD = →AB + →AC
よって
　→AD = (→AB + →AC)/2

これが分かれば、あとは大丈夫ですね？

No.1 回答者： みるくたゃんだよ 回答日時： 2019/11/28 00:59

BD:DC=1:1だから

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

でもどうしてそれが2分のb→+c→に繋がるのでしょう？
ベクトルの加法の性質を使ったということですか？

お礼日時：2019/11/28 01:13