ベクトルの減法・内積について

ベクトルの減法は、なぜ始点をそろえ、両者を足した？ような大きさになり？ベクトルの加法はむしろ、両者の差のようになるのはどうしてでしょうか？

また、ベクトルの内積についてわからない点があります。

斜辺２（→a)・底辺√3(→b）・対辺１で、なす角θ30°として考えた場合、→aと→bの内積は
|→a|･|→b|cos30°＝３になりますね。

しかしながら、ベクトルの内積が示すものは、斜辺の上から光を放った影（射影）のようなものであるならば、斜辺２以上の数になるのはおかしいとおもうのですが・・・。

以上、２点よろしくお願いします。

※もし質問の意図が分かりずらければ、仰っていただければ、図示して再度質問させていただきます。

質問者からの補足コメント

• 追伸：内積のことをスカラー積といいますが、そもそもスカラーって何ですか？

    補足日時：2017/12/24 19:38

• 追加です。内積については考え違いをしていたようです。太陽が当たって、影ができる範囲なのであれば、斜辺より大きくなるわけがないと思っていたのですが、そうじゃないんですね。

  
    補足日時：2017/12/25 04:51

No.2 ベストアンサー 回答者： ji6 回答日時： 2017/12/24 21:43

(以下、ベクトルの矢印の記号は省略)

図Ⅰ「差 AB-AC の表す移動」は,「 (AからBまでの移動)から(AからCまでの移動)を差し引いた残りの移動」になります。
それは、「(CからBまでの移動)」になりますから, 「AB-AC=CB」となります。
始点をそろえた場合がシンプルで意味がとりやすいのだと思います。

図Ⅱ「和 AB+AC の表す移動」は,「 (AからBまで移動し)さらに(AからCまでの移動と同じだけの移動を行う)移動」になります。
それは、「平行四辺形の対角線の移動」になります。

図Ⅲ ベクトル a , b の内積は, 普通の数の積 |a||b| に両者の方向の情報を加味したものです。
あなたの例であれば, ベクトル a の大きさ|a|＝2 をそのまま|b|=√3 にかけるのではなく,
|a|をベクトル b 方向への大きさ(正射影の大きさ)すなわち |a|cos30°=√3 に変換した上で, |b|とかけよう, ということです。
基本は, |a|=2 , |b|=√3 をかける計算ですので, なす角によって -2√3 ≦ a・b ≦ 2√3 の範囲の値をとります。

ベクトルの積の演算は, 内積と外積が定義されています。内積をスカラー積、外積をベクトル積と呼びます。

図が中々アップロードできません。取り敢えず文章だけでも…

この回答へのお礼

何度もご回答いただき、誠にありがとうございました。ＢＡとさせていただきます。

お礼日時：2017/12/26 04:15

No.6 回答者： ji6 回答日時： 2017/12/25 22:43

No.4の質問について

a・b = 2cos30°・√3 = √3・√3

この回答へのお礼

大変失礼いたしました。答えは３でございました。お手数おかけし申し訳ございません。

お礼日時：2017/12/26 04:13

No.5 回答者： ji6 回答日時： 2017/12/25 07:22

参考までにもう一つ図を上げます。

矢印の図で見たときの、(足したような・引いたような) イメージは、ベクトルの向きで変わります。
式のイメージに近いのは、なす角を小さくした(向きをそろえた)場合です

この回答へのお礼

減法は向きが逆なんですね。図示してくださり誠にありがとうございます。

お礼日時：2017/12/25 14:22

No.4 回答者： ji6 回答日時： 2017/12/25 07:04

図です。

この回答へのお礼

図Ⅲは2×√３×cos30°ではなく、√３×√３というのは、どういう意味でしょうか？内積ですよね？

お礼日時：2017/12/25 14:26

No.3 回答者： ji6 回答日時： 2017/12/25 07:00

補足のコメントについてですが, 減法のベクトルの向きが逆です。

(AB-A△ で表される移動)=(AからBへの移動)から(その移動の一部分を除いた移動)です。従って、AB-A△＝△B (このようにBへの移動になっているはずです)

a-b=a+b は偽です。ベクトルを小文字のa,b にせずに 始点終点で表すと比較しやすいと
思います。

図は未だにアップロードできません…？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2017/12/25 14:28

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2017/12/24 21:07

ベクトルの減法は、別に始点を合わせる必要は無いですが、始点を合わせると、引く方のベクトルの向かう点から、引かれる方のベクトルの向かう点へのベクトルが、答えとなります。

例：(A→B）－(A→C)＝(C→B)、これをベクトルの加法に変換すると、(A→B)＋(C→A)＝(C→A)＋(A→B)＝(C→B)となります。（ベクトルは、C→A→Bとなるので、C→Bとなります）
ベクトルの加法は、足されるベクトルの向かう点に、足すベクトルの始点を置いて、足されるベクトルの始点から、足すベクトルの向かう点に向かうベクトルとなります。（考え方としては、足されるベクトルが向かう点から、足すベクトルによって移動すると言うイメージで、結果としては、足されるベクトルの始点から、最終の目的点へ移動するのが、ベクトルの加法と言う事です）
内積（スカラー積）に関しては、質問文に書かれているように、内積の左側のベクトルの大きさに右側のベクトルの左側のベクトルの方向成分の大きさをかけたものです。
スカラーとは、方向を持たない大きさ（数値）を意味します。
数学では、これは単なる計算の約束ですが、この結果を利用できる状況では意味を持ちます。
物理学や統計学で内積で計算できる事があります。
例：物理学の場合、水平に置かれた物体に斜めに力をかけた場合に、距離Lだけ移動した、力をFとした場合、この物体がに
成された仕事Wは、力Fのベクトルと、移動をベクトルで表示したLの内積（スカラー積）F・Lとなる。→W＝F・L
これは、力Fの移動方向成分に移動距離をかけた値が仕事Wとなる事を示します。

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。

お礼日時：2017/12/25 14:26