4個の数字1,2,3,4を重複を許して使って4桁の整数を作るこの時3の倍数は何個か？ この問題では3

4個の数字1,2,3,4を重複を許して使って4桁の整数を作るこの時3の倍数は何個か？
この問題では3の倍数は各位の和が3の倍数であることを利用して和が6,9,12,15となる場合に取れる数を数えあげていくしかありませんか？

No.4 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/01/07 01:51

数が少ないので総当たりでも行けそうですね。

一番上の桁が1と4のとき、他の桁の位の足し合わせが3の倍数+2（5,8,11）
要素が1,1,3　…3通り
1,2,2　…3通り
1,3,4　…6通り
2,2,4　…3通り
2,3,3　…3通り
3,4,4　…3通り

2×(3+3+6+3+3+3) =2×21 =42
計42通り

一番上の桁が2のとき、他の桁の位の足し合わせが3の倍数+1（4,7,10）
要素が1,1,2　…3通り
1,2,4　…6通り
1,3,3　…3通り
2,2,3　…3通り
2,4,4　…3通り
3,3,4　…3通り

3+6+3+3+3+3 =21
計21通り

一番上の桁が3のとき、他の桁の位の足し合わせが3の倍数（3,6,9,12）
要素が1,1,1　・・・1通り
1,1,4　…3通り
1,4,4　…3通り
1,2,3　…6通り
2,2,2　…1通り
2,3,4　…6通り
3,3,3　…1通り
4,4,4　…1通り

1+3+3+6+1+6+1+1 =22
計22通り

したがって、これらを足し合わせた 85通り が解答となります。


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やはり各位の和が3の倍数であることを利用して問題を解くのが一番簡単だと思います。

上のやり方だと要素を考える際に間違えやすいので、
次のように考えた方が良いかもしれません。

条件から上二桁の位の和は2～8になるので、
まずはこれらの組み合わせを考えます。
和が2になるのは1通り
和が3になるのは2通り
和が4になるのは3通り
和が5になるのは4通り
和が6になるのは3通り
和が7になるのは2通り
和が8になるのは1通り

次にこれらを3の倍数、3の倍数+1、3の倍数+2という形で分けると
3の倍数　　…和が3,6　　…5通り
3の倍数+1　…和が4,7　　…5通り
3の倍数+2　…和が2,5,8　…6通り

下二桁も同じように考えて、両方の和、
すなわち、各位の和が3の倍数になるような組み合わせは
<3の倍数> + <3の倍数>　　　…5通り×5通り=25通り
<3の倍数+1> + <3の倍数+2>　…5通り×6通り=30通り
<3の倍数+2> + <3の倍数+1>　…6通り×5通り=30通り

これらの足し合わせの 85通り が解答です。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2018/01/06 20:18

個人的な好みもあるでしょうが、私は次のように考えました。

・同一数字が 4個 ある場合は、3,3,3,3、の1通りのみ。
・同一数字が ３個 ある場合は、1,1,1,3、 2,2,2,3、4,4,4,3、の3種類、全てに 4通りの並び方がある。
・同一数字が 2個 あり、2+2 の場合は、1,1,2,2、2,2,4,4, の 2 種類、どちらも6通りの並び方がある。
・同一数字が 2個 あり、上記以外の場合は、1,1,3,4、2,2,1,4、3,3,2,4、3,3,1,2、の4種類、全てに12通りの並び方がある。
・４個の数字がすべて異なる場合は、あり得ない。
1+3×4+2×6+4×12＝73 で、73個ですかね。直感的にはもっと多い様に感じたのですが。

No.2 回答者： 細筆 回答日時： 2018/01/06 19:04

・和が6になる場合

（3,1,1,1）,（2,2,1,1）
・和が9になる場合
（4,3,1,1）,（4,2,2,1）,（3,3,2,1）,（3,2,2,2）
・和が12になる場合
（4,4,3,1）,（4,3,3,2）,（3,3,3,3）
・和が15になる場合
（4,4,4,3）

…数え漏らしがあるかも(^^;
本題はここからで、例えば上記のうち、
（3,1,1,1）, （4,4,4,3）等は【三つ同じ数字】という共通点があるので順列（並び替え）の通り数は同数のはず。また、
（4,3,1,1）,（4,2,2,1）等も【同じ数字が二つ、残りが異なる数字】という共通点があるので通り数は同数。
…というように、書き出したグループを更に分類することで簡単になると思います。
もし、高校生なら重複順列辺りで更に簡単になるはずです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/01/06 16:14

はい。

それがふつうのやり方だと思います。