スイッチが２つとも閉じた状態で、点bでの電位を求める問題で解答がないので解き方がわかりません。 I3

スイッチが２つとも閉じた状態で、点bでの電位を求める問題で解答がないので解き方がわかりません。
I3=I1+I2 I1=I2=3v というところまではできたのですがその後が分かりません。またこの電流の大きさも間違っていたらご指摘お願いします。

No.1 回答者： m-jiro 回答日時： 2018/02/04 10:31

わかりやすいよう数値には単位を付けておきます。

b、e間の電圧をEbとすると、
　I1＝(Eb－E1)÷R1＝(Eb－10V)÷2Ω　　　①
　I2＝(Eb－E2)÷R2＝(Eb－7V)÷3Ω　　　　②
　I3＝(E3－Eb)÷R3＝(40V－Eb)÷4Ω　　　③
　I3＝I1＋I2　　　　④
この4つの式ができます。
この4つの式からEbを求めればOK。ここは数学の問題。
計算はやってね。　　(Eb＝16Vになる)

Ebが求まったら①②③の式に入れてI1、I2、I3を求め④が成り立つことを確認できたら完了。
確認計算は必ずやってね。間違いがあれば自分で発見できます。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/02/04 10:39

アプローチのしかたはいくつかありますが、ひとつは「重ね合せの定理」を使う方法です。

つまり、3つの電源を、それぞれ「１個だけが存在する場合」に分けて、それぞれで電流を計算し、それを３つ「重ね合わせ」て求める電流を求めるやり方です。

まどろっこしいようですが、機械的にできるので一度やってみてください。
やり方はこちら。（質問の回路に変形して応用してください）
https://www.aps-web.jp/academy/ec/05/
https://www.yonago-k.ac.jp/denki/lab/nitta/lectu …

やってみて分からなければ、補足にでも記載してください。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/02/04 11:49

テブナンが楽そうなのでやってみました。

sw1を解放した場合、Vbは

Vb=E1+{R1/(R1+R2)}(E3-E1)=20V

bから見た内部抵抗は R1・R2/(R1+R2)=4/3 Ω

従ってテブナンの定理から, SW1を閉じると
I2=(20-7)/(4/3 + 3)=3
Vbは内部抵抗の電圧降下分下がるので
Vb=20-(4/3)I2=16

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/02/04 20:15

No.2です。

時間ができたので、「重ね合わせの定理」を使ってやってみましょう。

(1) 電池 E1 だけの場合を考えます。E2, E3 は短絡させてないものとします。
　電池 E1 から見れば、回路は、「R2 と R3 の並列」に R1 が直列につながっています。
　　R2 と R3 の並列 = R2R3/(R2 + R3)
　これと R1 の直列による合成抵抗 R10 は
　　R10 = R2R3/(R2 + R3) + R1 = (R1R2 + R2R3 + R3R1)/(R2 + R3)
　従って、このときの I1 は右向きなのでマイナスで表して
　　I11 = -E1/R10 = -E1(R2 + R3)/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　be間の電圧は
　　V1be = -I11 * R2R3/(R2 + R3) = E1R2R3/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　この電圧で流れる電流は
　　I21 = V1be/R2 = E1R3/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　　I31 = -V1be/R3 = -E1R2/(R1R2 + R2R3 + R3R1)

(2) 同様に、電池 E2 だけの場合を考えます。E1, E3 は短絡させてないものとします。
　電池 E2 から見れば、回路は、「R1 と R3 の並列」に R2 が直列につながっています。
　　R1 と R3 の並列 = R1R3/(R1 + R3)
　これと R2 の直列による合成抵抗 R20 は
　　R20 = R1R3/(R1 + R3) + R2 = (R1R2 + R2R3 + R3R1)/(R1 + R3)
　従って、このときの I2 は上向きなのでマイナスで表して
　　I22 = -E2/R20 = -E2(R1 + R3)/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　be間の電圧は
　　V2be = I22 * R1R3/(R1 + R3) = E2R1R3/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　この電圧で流れる電流は
　　I12 = V2be/R1 = E2R3/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　　I32 = -V2be/R3 = -E2R1/(R1R2 + R2R3 + R3R1)

(3) 同様に、電池 E3 だけの場合を考えます。E1, E2 は短絡させてないものとします。
　電池 E3 から見れば、回路は、「R1 と R2 の並列」に R3 が直列につながっています。
　　R1 と R2 の並列 = R1R2/(R1 + R2)
　これと R3 の直列による合成抵抗 R20 は
　　R30 = R1R2/(R1 + R2) + R3 = (R1R2 + R2R3 + R3R1)/(R1 + R2)
　従って、このときの I3 は左向きなので、そのまま
　　I33 = E3/R30 = E3(R1 + R2)/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　be間の電圧は
　　V3be = I33 * R1R2/(R1 + R2) = E3R1R2/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　この電圧で流れる電流は
　　I13 = V3be/R1 = E3R2/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　　I23 = V3be/R2 = E3R1/(R1R2 + R2R3 + R3R1)

これで3つの条件が出そろったので、電池が3つあるときの状態に「重ね合わせ」ると
　　I1 = I11 + I12 + I13
　　　= -E1(R2 + R3)/(R1R2 + R2R3 + R3R1) + E2R3/(R1R2 + R2R3 + R3R1) + E3R2/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　　　= [ E2R3 + E3R2 - E1(R2 + R3) ]/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　　I2 = I21 + I22 + I23
　　　= E1R3/(R1R2 + R2R3 + R3R1) - E2(R1 + R3)/(R1R2 + R2R3 + R3R1) + E3R1/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　　　= [ E1R3 + E3R1 - E2(R1 + R3) ]/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　　I3 = I31 + I32 + I33
　　　= -E1R2/(R1R2 + R2R3 + R3R1) - E2R1/(R1R2 + R2R3 + R3R1) + E3(R1 + R2)/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　　　= -[ E1R2 + E2R1 - E3(R1 + R2) ]/(R1R2 + R2R3 + R3R1)

e の電圧がゼロなので、b の電圧はどの電流と抵抗とから計算してもよく、例えば I1 と R1 と E1 を使えば
　　Ve = E1 + I1*R1 = E1 + R1*[ E2R3 + E3R2 - E1(R2 + R3) ]/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　　　= [ E1*(R1R2 + R2R3 + R3R1) + E2R3R1 + E3R1R2 - E1R1R2 - E1R3R1 ]/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　　　= (E1R2R3 + E2R3R1 + E3R1R2)/(R1R2 + R2R3 + R3R1)

これを I3 と R3 と E3 を使えば、I3 の向きを考えて
　　Ve = E3 - I3*R3 = E3 - R3*{ -[ E1R2 + E2R1 - E3(R1 + R2) ]/(R1R2 + R2R3 + R3R1) }
　　　= E3 + R3*[ E1R2 + E2R1 - E3(R1 + R2) ]/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　　　= [ E3*(R1R2 + R2R3 + R3R1) + E1R2R3 + E2R3R1 - E3R3R1 - E3R2R3 ]/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
　　　= (E3R1R2 + E1R2R3 + E2R3R1)/(R1R2 + R2R3 + R3R1)
で、同じ結果が得られます。

省略しますが、 I2 と R2 と E2 を使っても同じです。

あとは、これに具体的な数値を入れれば値が求まります。
やってみれば
　　Ve = (10* 3*4 + 7*4*2 + 40*2*3)/(2*3 + 3*4 + 4*2)
　　　= (120 + 56 + 240)/(6 + 12 + 8)
　　　= 416/26
　　　= 16 (V)

ああ、疲れた。
図に書き込んだ電流の向きと、計算で出てくる電流の向き（電池の方向で決まる）に注意しましょう。必要に応じて「マイナス」を付けてやらないといけませんから。