⑵のア イ はどうやって解くのですか？ 解説を聞きたいです！

⑵のア イ はどうやって解くのですか？
解説を聞きたいです！

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/02/19 03:51

PA=PBとなるとき

△APBは二等辺三角形となるから
∠PAB=∠PBA
(1)より △ABQ∽△APB が証明されているので
∠AQB=∠PBA
すなわち、∠PAB=∠AQB が言えます。
よって ∠PAB=∠AQB から △AQB は二等辺三角形となり
AB=BQ=5 だとわかります。

ところで△ABCは、AB=AC=5、BC=8 の二等辺三角形だから
AからBCに垂線を引いて交点をHとすると
△AHCは直角三角形となり、BH=4 だから
ピタゴラスの定理より
AH²=AC²-CH²＝5²-4²=25-16=9
ゆえに AH=3 となるので、
△ABCの面積は
3×4=12 (cm²)
となります。

いま、BC=8、BQ=5 であるから CQ=3 となるので、
△AQCの面積：△ABCの面積=3:8
が言えるので、△AQCの面積の面積は
△AQCの面積=△ABCの面積×3/8=12×3/8=9/2 (cm²)
となるわけです。


ここで △ACH に注目すると
sin∠ACH =AH/AC=3/5
ということがわかるので
∠ACH(∠ACB)＝∠APB より
sin∠APB=3/5

△APBにおいて正弦定理から
AB/sin∠APB =2R
が成り立つから、円Oの直径は
2R=5/(3/5)=25/3 (cm)
ということになります。


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文章にしたら長くなったのでわかりにくいかもしれません。
要点だけ確認して理解してみてください。

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/19 01:18

1) より、△ABQ相似△APB …(1)

PA=PBから、AB=BQ=5
よって、QC=BCーBQ=8ー5=3
故に
高さが同じ△AQCと△ABQは、BQ:QC=5:3 より
△ABCが5-5-8の二等辺三角形から
底辺BC=8の高さは、√(5^2ー(8/2)^2)=3より
面積は、(1/2)・8・3=12
従って、△AQCの面積は、12・3/(3+5)=3・3/2=9/2

△ABCの外接円の半径をRとすれば、正弦定理より
8/sinA=5/sinB=5/sinC=2R
また、∠A+∠B+∠C=180°より∠A=180ー∠Bー∠Cから
0＜A,B,C＜180°からsin∠A=sin(180ー∠Bー∠C)=sin(∠B+∠C)より
加法定理より
8/sin(∠B+∠C)=8/｛2・sin∠B・cos∠C)=4/(sin∠B・cos∠C)
=5/sin∠B より
∴ cos∠C=4/5 ∴ sin∠C=√(1ー(4/5)^2)=3/5
従って
直径=2R=5/sin∠C=5/(3/5)=25/3