統計学の質問です。2つの標本グループの「平均値の比」の標準偏差はどうやったら計算できますか。

基本的なことなのかもしれませんが、分かりませんので、どうぞ教えてください。２つの標本グループ１とグループ２があって、サンプル数n、平均値m、標準偏差sがそれぞれ、n1、ｍ1、s1、およびn2、ｍ2、s2 だとします（必要なら、個々のサンプルの元データも使えます）。平均値の比 m1／m2 の標準偏差はどのように計算されるのでしょうか。また、平均値の差 m1ーm2 の場合、標準偏差はどうなるでしょうか。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• ご指摘ありがとうございます。まずこういう場合を考えます。ペアになったデータがあったとして（たとえば、Aさんのダイエット前の体重、ダイエット後の体重、Bさんのダイエット前、ダイエット後、Cさんの前、後．．．）、各人のダイエット前後の「体重の差」は計算できますので、ダイエット前後の体重変化の（全員の）平均値、標準偏差は求められます。これらの値は、ダイエット前の（全員の）平均値、標準偏差、ダイエット後の（全員の）平均値、標準偏差があれば計算できるように思われます。これは正しいでしょうか。
  　次に、ダイエット前と後がペアになっていない場合です（ダイエットした人、Aさん、Bさん．．、しなかった人、Pさん、Qさん．．）。このとき、ダイエットした人たちとしない人たち、それぞれの平均値、標準偏差から全員のダイエットの有無の効果（平均、標準偏差）は計算できるでしょうか。字数制限のため舌足らずですみません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/03/01 12:41

No.2 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2018/03/01 23:46

企業でSQCを推進する立場の者です。

博士（工学）です。

・私は企業に勤めていますが、積・商の誤差分布に関する問い合わせは、１０年に１度くらいしかないです。
・「２つの分布が互いに独立」という前提で回答します。ある人のダイエット前後とかのケースでは共分散があるので、かなり面倒になります。「積商の誤差伝搬 共分散」とかのキーワードで検索して専門的なサイトの説明を見て下さい。

①平均が分散を持たない、という回答があったので、びっくりしています。分散Vの母集団からｎ個サンプリングして平均を求めるという試行を何度も行うと、その平均は、V／ｎという分散を持つ分布に従います。

②N（μ１，V1）とN（μ２，V2）という互いに独立な２つの分布からサンプルを取って和・差を取ると、それらは、N（μ１±μ２，V1＋V2）という分布に従います。これを分散の加法性と言います。

③N（μ１，V1）とN（μ２，V2）という互いに独立な２つの分布からサンプルを取って積・商を取ると、それらは、N（μ１^±１・μ２^±１，V３）という分布に従います。ここでV３は、
√V３／（μ１^±１・μ２^±１）＝√{（√V１／μ１）^２＋（√V２／μ２）^２）｝
言葉で書くと、「積・商の相対誤差は、元の相対誤差の2乗和平方根になる」です。

このサイトは、数式がぐちゃぐちゃになるので、参考のサイト見て下さい。ちょっと探しただけでも同じ説明があるサイトはすぐ見つかります。逆に知恵袋とか教えてgoo的なサイトの回答は間違いが書いてありました。

参考サイト：
https://physnotes.jp/foundations/er_p4/#四則演算の誤差伝播

参考図書：
JohnR. Taylor(著)，林 茂雄(翻訳)，馬場 凉(翻訳)（2000）『計測における誤差解析入門』，東京化学同人

この回答へのお礼

（お礼は上に↑）

お礼日時：2018/03/03 15:39

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2018/03/03 06:26

#2です。

因果分析について、あまりご存じないようですね。

①各人のダイエット前後の「体重の差」は計算できますので、ダイエット前後の体重変化の（全員の）平均値、標準偏差は求められます。これらの値は、ダイエット前の（全員の）平均値、標準偏差、ダイエット後の（全員の）平均値、標準偏差があれば計算できるように思われます。これは正しいでしょうか。

→間違いです。（○○前後のような）対応のあるデータは、その差や比は大きな値になり、明確な違いが検出できます。しかし、前の平均、後の平均としてしまうと、平均の差や比はサンプルの変動に埋もれてしまいます。
詳しくは、「対応のあるデータの差の検定」などで検索して、なぜそれが必要なのか見て下さい。

②次に、ダイエット前と後がペアになっていない場合です（ダイエットした人、Aさん、Bさん．．、しなかった人、Pさん、Qさん．．）。このとき、ダイエットした人たちとしない人たち、それぞれの平均値、標準偏差から全員のダイエットの有無の効果（平均、標準偏差）は計算できるでしょうか。

→このケースは、可能です。薬品の治験と同じです。ここに書くと長くなるので「コホート研究 ケースコントロール研究」で検索して下さい。問題は、研究開始前にデザインをしていない「後ろ向き研究」をやるというのですよね。これには相当量のサンプルが必要です。


昨年ベストセラーになった「中室牧子（2017）『原因と結果の経済学』」を参考文献として挙げておきます。数学の本ではないので読めると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。「あまり」というよりまるで知らない方ですので、（理解は「それなり」でありますが、）大変参考になりました。「積・商の相対誤差は、元の相対誤差の2乗和平方根になる」と表現されると少しイメージが湧きました。紹介してくださった参考資料に挑戦してみたいと思います。

お礼日時：2018/03/03 15:39

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/03/01 10:03

平均値 m1, m2 って「定数」ですよね？　分布はしていませんよね？

（標本グループ１の中で、ｎ個のサンプルの値は分布していると思いますが、平均値 m1 はその代表値としての「１つの数」ですよね？）

だったら「平均値の比 m1／m2 」もただの「定数」であって、分布しないので「標準偏差」など存在しません。
「平均値の差 m1ーm2」も同じです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。簡単に表現されていても意味をはっきり捉えるのはむずかしいです。

お礼日時：2018/03/03 15:39