数学IIの問題です。式と解説と答えを教えてください。3次方程式x^3 + mx^2 + 3nx +

数学IIの問題です。式と解説と答えを教えてください。3次方程式x^3 + mx^2 + 3nx + m + n-1=0(m,nは実数の定数) . . . ①はx=-1を解にもつ。
(1) mをnを用いて表せ。
(2) ①の解がすべて実数であるとき, nのとり得る値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき, ①の解をx=-1, α, βとする。α^3 + β^3-32=0満たすとき, nの値を求めよ。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/03/22 15:24

1)

x=-1を解にもつから　①に代入
-1+m-3n+m+n-1=0
m=n+1

2)m=n+1を用いて①は
x^3 +(n+1)x^2 + 3nx +n+1 + n-1=0
x^3 +(n+1)x^2 + 3nx +2n=0
x=-1を解にもつので　因数定理より①は(x+1)を因数にもつから
x^3 +(n+1)x^2 + 3nx +2n=(x+1)(x²+nx+2n)=0
①の解がすべて実数 となるためには
(x²+nx+2n)=0も実数解を持てばよいから判別式≧0　となればよい
D=n²-4･1･2n=n²-8n=n(n-8)≧0
から求める範囲は、n≦0, 8≦n

3)(x²+nx+2n)=0において解と係数の関係より
α+ β=-n
αβ=2n
α^3 + β^3-32=0より
α^3 + β^3-32=(α+ β)³-3α²β-3αβ²-32
=(α+ β)³-3αβ(α+β)-32
=(-n)³-3・2n(-n)-32
=-n³+6n²-32
=0

-n³+6n²-32=0はn=-2を解に持つので因数定理により
-n³+6n²-32=(n+2)(n²+8n-16)と因数分解できる
⇒(n+2)(n²+8n-16)=0
解の公式より(n²+8n-16)=0の解は
n=4±4√2

2)よりn≦0, 8≦nの範囲内にあるのは
n=-2、4±4√2

計算ミスが無ければ、このようになると思います。