無限集合について

任意の無限集合Aに対して、Aと全単射が存在するような真部分集合B⊂≠Aが存在することの証明を教えて頂きたいです

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます
  立て続けで申し訳ないのですが、「Aを値域、Bを定義域とする全単射が存在するようなAの真部分集合B⊂≠Aが存在する」ことの証明を教えて頂きたいです。
  何分勉強不足ですが、回答頂けると幸いです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/04/30 21:03

• 回答ありがとうございます
  立て続けで申し訳ないのですが、「Aを値域、Bを定義域とする全単射が存在するようなAの真部分集合B⊂≠Aが存在する」ことの証明を教えて頂きたいです。
  何分勉強不足ですが、回答頂けると幸いです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/04/30 21:04

• 度々すみません、
  ZFC上でです

    補足日時：2018/04/30 21:14

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/04/29 17:42

全単射ということは、可逆性を持ちます。

つまり真部分集合Bに対して、Bと全単射が存在するような任意の無限集合Aが成立しなければいけませんが、これは全単射でないため矛盾します。
よって、任意の無限集合Aと全単射が存在するような真部分集合Bは存在しない（真部分集合B⊂≠任意の無限集合A）ことになります。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/29 23:36

定義より存在する.

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2018/04/30 10:35

ご質問の「無限集合」の定義を示してもらわんとね。

というのもNo.2にある通り、普通は「Aを値域、Bを定義域とする全単射が存在するようなAの真部分集合B⊂≠Aが存在するときに、Aを無限集合と呼ぶ」と定義するからです。

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2018/05/01 00:14

あれま。

ZFC公理系なんて事をご存知でしたら、"ZFC"の"C"は選択公理のことだということもお分かりでしょう。そして選択公理を認めるのであれば、ご質問の問いは（「無限集合」をどう定義しようが）簡単ってか、ちょろいってか、いやもう、ほとんど自明のはず。
…となると、いやどうも、おかしな話だなと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時：2018/05/05 19:46