固有値・固有ベクトルの問題について

3次の正方行列Cが3次の対称行列Bによって対角化可能であるとする．ただし，行列B,Cの成分は実数とする．この時，Cは対称行列であることを示せ．

Bが対称行列ではなく，直交行列であればわかるのですが...

どなたかよろしくお願いします．

質問者からの補足コメント

• 対角化された行列をDとする。
  この時、B⁻¹CB=D・・・①
  今回、Bは対称行列のため B=tBが成立
  ①より C=BDB⁻¹　→　C=tBDB⁻¹ 　
  という感じにやってみたのですが、ここで止まってしまいました。
  ここからどうなるのでしょか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/05/11 22:25

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/05/13 00:42

そもそもなりたたないような気がするんだが....

例えば, てきとうな対角行列 D に対して, (正則な) 対称行列 B を使って
C = B D B^-1
とすると, この C は「3次の対称行列Bによって対角化可能」という条件を満たします. ところが, 実際に数値を入れてみればわかりますが, C は一般には対称行列ではありません.

この回答へのお礼

わからなければ今後一度具体的に数値を入れてみたいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2018/05/21 12:52

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/05/14 00:36

これ、2次だと簡単に反例が作れるので

3次もだめでしょうね。

B=
[[1,2],
[2,1]]
D=
[[1,0],
[0,2]]

#行列はpython風(^^;

この回答へのお礼

やはり作るのは厳しいのですね
反例まで作成していただきありがとうございました。

お礼日時：2018/05/21 12:52

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/05/11 18:25

「CがBによって対角化可能」を行列の式で表してください。

さらに、「対称行列B」ということは、ある関係式が成り立ちます。それは何？

そして、行列Cについて、どういう式が成り立てば良いのですか？

ちなみにヒントは下のURLです。

http://www.iwanttobeacat.com/entry/2018/01/05/22 …

これで示せます。