大至急です！ 数学の数列のΣの問題です。 Σ(k+1)・2^kの答えを教えてください。 k＝1からn

大至急です！
数学の数列のΣの問題です。
Σ(k+1)・2^kの答えを教えてください。
k＝1からnです。

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/05/19 23:16

答えを教えることに関しては別に構いませんが、これは宿題の丸投げですか？

答えは下の写真に書かれています。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
友達から聞かれて、僕もわからなくて…。

お礼日時：2018/05/19 23:50

No.2 回答者： metabolian 回答日時： 2018/05/19 23:44

a(n)=(n+1)・2^nとおいて

n=1,2,…と順に計算していくと
n=1 のとき、a(1)=(1+1)・2^1=4、S(1)=a(1)=4=2^2・1 … （Ａ）
n=2 のとき、a(2)=(2+1)・2^2=12、S(2)=S(1)+a(2)=16=2^3・2
n=3 のとき、a(3)=(3+1)・2^3=32、S(3)=S(2)+a(3)=48=2^4・3
n=4 のとき、a(4)=(4+1)・2^4=80、S(4)=S(3)+a(4)=128=2^5・4
…と計算していくと、S(n)=n・2^(n+1) … （Ｂ）と推測できる。

（Ｂ）を「数学的帰納法」で証明すると
① n=1のとき、（Ａ）により成立。
② n=pのとき、S(p)=p・2^(p+1) が成り立つとすると
n=p+1のとき、S(p+1)=S(p)+a(p+1)
={p・2^(p+1)} +{(p+2)・2^(p+1)}
={p+(p+2)}・2^(p+1)
={2(p+1)}・2^(p+1) ※2^(p+1)でくくる
=(p+1)・2^((p+1)+1) ※係数の"2"を「指数法則」を使って移動
となり、n=p+1のときも（Ｂ）式が成り立つ。

したがって、S(n)=n・2^(n+1)

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/05/19 23:50

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2018/05/21 16:29

∫ a^x ⊿x=a^x /(aー1)よりa=2 なら ∫ 2^x ⊿x=2^x ……(1)

∫ x〔n〕⊿x= x〔n+1〕/(n+1)より
部分和分法の公式; ∫ (f(x)・⊿g(x))⊿x=f(x)g(x)ー∫ (f(x)・g(x+1))⊿x
により f(x)=x ,⊿g(x)=2^x ∴ g(x)=∫ 2^x ⊿x=2^x
⊿f(x)=1 ,g(x+1)=2^(x+1) だから
∫ x・2^x ⊿x= x・2^x ー∫ 1・2^(x+1)⊿x
=x・2^xー2^(x+1)/(2-1) …(2)
ただし、和分定数は省略します！

Σk;1…n (k+1)・2^k =Σk;1…n k・2^k +Σk;1…n 2^k
(1),(2)より
= ［ k・2^k ー2^(k+1) ー2^k ］n+1 →1
=［( kー1)・2^k ］n+1→1
=n・2^n+1

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2018/05/21 17:14

∫ 2^x ⊿x=2^x

∫ x〔n〕⊿x=x〔n+1〕/(n+1)
部分和分法の公式においてf(x)=x+1 とおいた方が効率がいい！
⊿f(x)=(x+1+1)ー(x+1)=1
g(x)=∫2^x ⊿x=2^x ,g(x+1)=2^x+1
よって
Σ k;1…n (k+1)・2^k =∫ (k+1)・2^k ⊿k
=［ (k+1)・2^k ー∫ 1・2^(k+1)］n+1→1
=［ (k+1)・2^kー2^(k+1)］n+1→1
=［(kー1)・2^k］n+1→1
=n・2^(n+1) ………(答え)

部分和分法 大学1年で習うが、微積分がわかればわかる！
導関数において、h=1とし、実数の代りに、整数が値！
一旦わかれば、ワンパターンだが、
微積分と少し異なるので注意！