ベクトルについて。

次の(3)以降の問題を教えていただけないでしょうか？すみません。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10505556.html

質問者からの補足コメント

• 

  要するに、QはΔOBCの中にはないというのは、なぜでしょうか？教えていただけると幸いです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/05/21 20:33

• 

  あの、Qは、ΔOBCの垂線だとかかれているのですが。なぜ、Qは、ΔOBCの中にないのかもう少し詳しく教えていただけると幸いです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/05/21 21:00

No.5 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/23 10:57

No.1&2&4です。

「補足」に書かれている

＞あの、Qは、ΔOBCの垂線だとかかれているのですが。なぜ、Qは、ΔOBCの中にないのかもう少し詳しく教えていただけると幸いです。

について、下記のような図で説明します。

これは「２次元」ですが、左のような図の場合、垂線の足 H は BC 上にあって、
　→AH = α(→AB) + β(→AC)
とすると α>0, β>0 となります。

ところが、右のような図の場合、垂線の足 H は BC 上にはありません。この場合、
　→AH = α(→AB) + β(→AC)
とすると α<0, β>0 となります。（青のベクトルの向きを見てください）
つまり、 α<0 または β<0 の場合には「H は△ABC の中にはない」ということです。

右の図の場合でも、H は「A から BC に下ろした垂線の足」と呼ばれます。
△ABC が鈍角三角形のような場合には、H が BC 上にない場合もある、ということです。

No.1 で、書かなくともよかったのに「要するに、QはΔOBCの中にはない」と書いたのは、結果的には間違っていましたが、その時点では「α<0, β<0 」との結果だったので、上のようなことが言えると考えたからです。

結果的に質問者さんを混乱させて申し訳ありませんでしたが、下図のような場合もあるので、「垂線の足は必ず BC 上にある」「Qは、ΔOBCへの垂線の足だと書かれているのでΔOBC上にある」と短絡的に考えるのは間違いですよ、ということを覚えておくとよいと思います。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/05/23 11:53

なんで気づいたかっていうと, この立体を頭の中で作ったときに「Q は△OBCの中にはない」というのがおかしい気がしたからです. 中学校の幾何の話を使うと, どうやっても Q が △OBC の中にないとおかしいんで.

ついでにいうと
点P が △ABC の中 (境界を含まない) にある
というのは, AP = αAB + βAC とおいたときに
α > 0 かつ β > 0 かつ α+β < 1
のとき.

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/23 10:12

No.1 です。

#3 さん＞あれ? なんか変じゃないかな＞#1.
#3 さん＞
#3 さん＞AQ = AO + OQ = -OA + OQ
#3 さん＞じゃないですかね.

あら、そうですね。No.1 は、最初から間違えていました。
全面的に書き直します。

↓　No.1 の訂正版
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
まず、(3) の問題文は

×：↑AQが↑b、↑cと直線である。

〇：↑AQが↑b、↑cと垂直である。

ですね？

つまり
　↑AQ･↑b = 0
　↑AQ･↑c = 0

これに、
　↑AQ = α↑b + β↑c - ↑a　　　　　　←ここの「↑a」の前が「+」ではなく「-」でした。
を代入すれば

　(α↑b + β↑c - ↑a)･↑b
= α↑b･↑b + β↑c･↑b - ↑a･↑b
= α|↑b|^2 + β↑c･↑b - ↑a･↑b
(2) の結果を使って
= 16α + 12β - 4 = 0　　　　　　①

　(α↑b + β↑c - ↑a)･↑c
= α↑b･↑c + β↑c･↑c - ↑a･↑c
= α↑b･↑c + β|↑c|^2 - ↑a･↑c
(2) の結果を使って
= 12α + 36β - 6= 0　　　　　　②

①×3 - ②より
　36α - 6 = 0
→　α = 1/6

①に代入して
　12β = -16/6 + 4 = 4/3
→　β = 1/9

失礼しました！！　Q は△OBCの中にありますね！！

(4) 以上より

　↑AQ = α↑b + β↑c - ↑a
= (1/6) ↑b + (1/9)↑c - ↑a
= -↑a + (1/6) ↑b + (1/9)↑c

(5) は「表面積」ということかな？　そんなわけないな。この場合は「体積」でしょう。
　↑AQ が分かっていれば、|↑AQ| も分かり、これが△OBC を底面とたときの「高さ」になるので、(1) で求めた△OBC の面積と|↑AQ| とから、体積が求まります。

　ここで
　　|↑AQ|^2 = ↑AQ･↑AQ = [-↑a + (1/6) ↑b + (1/9)↑c]･[-↑a + (1/6) ↑b + (1/9)↑c]
　　　　　　= |↑a|^2 - (1/6)↑a･↑b - (1/9)↑a･↑c - (1/6)↑b･↑a + |(1/6) ↑b|^2 + (1/54)↑b･↑c - (1/9)↑c･↑a + (1/54)↑c･↑b + |(1/9)↑c|^2
　　　　　　= 4 - 2/3 - 2/3 - 2/3 + 4/9 + 2/9 - 2/3 + 2/9 + 4/9
　　　　　　= 4 - 8/3 + 12/9
　　　　　　= 8/3
より
　　|↑AQ| = √(8/3) = 2√6 /3

従って、体積は
　　V = (1/3) * △OBC * |↑AQ| = (1/3) * 6√3 * 2√6 /3 = 4√2

（注）計算違いがあるかもしれません。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
（以上、訂正終わり）

従って、「QはΔOBCの中にはない」ということはありませんでした。

しかし、仮に「QはΔOBCの中にはない」場合でも、「ＱはＡから ΔOBC に下ろした垂線」の場合がありますよ。
2次元で、三角形ABC で、「頂点Aから辺BCに下ろした垂線」は、∠B または∠C が鈍角（90°以上）の場合には、辺BCの上にはありません。それと同じようなことです。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/05/22 23:36

あれ? なんか変じゃないかな＞#1.

AQ = AO + OQ = -OA + OQ
じゃないですかね.

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/21 20:41

No.1です。

「補足」に書かれたことについて。

＞要するに、QはΔOBCの中にはないというのは、なぜでしょうか？

ここが分からなかったのかな、と思って余分なことを書いてしましましたね。

↑OQ = α↑b + β↑c

とおいて、α、β が「負」ということです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/21 16:18

何度も同じ質問をされているようですね。

おそらく、問題文の中に間違いがいくつかあるのが、回答が付かない原因かと思います。きちんと訂正して質問文に書き直すなりすれば、すぐに回答が付いたと思います。
というか、問題文に間違いがあることすら気付かないから解けなかったのかな？

まず、(3) の問題文は

×：↑AQが↑b、↑cと直線である。

〇：↑AQが↑b、↑cと垂直である。

ですね？

つまり
　↑AQ･↑b = 0
　↑AQ･↑c = 0

これに、
　↑AQ = α↑b + β↑c + ↑a
を代入すれば

　(α↑b + β↑c + ↑a)･↑b
= α↑b･↑b + β↑c･↑b + ↑a･↑b
= α|↑b|^2 + β↑c･↑b + ↑a･↑b
(2) の結果を使って
= 16α + 12β + 4 = 0　　　　　　①

　(α↑b + β↑c + ↑a)･↑c
= α↑b･↑c + β↑c･↑c + ↑a･↑c
= α↑b･↑c + β|↑c|^2 + ↑a･↑c
(2) の結果を使って
= 12α + 36β + 6= 0　　　　　　②

①×3 - ②より
　36α + 6 = 0
→　α = -1/6

①に代入して
　12β = 16/6 - 4 = -4/3
→　β = -1/9

要するに、Q は△OBCの中にはないということです。

(4) 以上より

　↑AQ = α↑b + β↑c + ↑a
= (-1/6) ↑b + (-1/9)↑c + ↑a
= ↑a - (1/6) ↑b - (1/9)↑c

(5) は「表面積」ということかな？　そんなわけないな。この場合は「体積」でしょう。
　↑AQ が分かっていれば、|↑AQ| も分かり、これが△OBC を底面とたときの「高さ」になるので、(1) で求めた△OBC の面積と|↑AQ| とから、体積が求まります。

　ここで
　　|↑AQ|^2 = ↑AQ･↑AQ = [↑a - (1/6) ↑b - (1/9)↑c]･[↑a - (1/6) ↑b - (1/9)↑c]
　　　　　　= |↑a|^2 - (1/6)↑a･↑b - (1/9)↑a･↑c - (1/6)↑b･↑a + |-(1/6) ↑b|^2 + (1/54)↑b･↑c - (1/9)↑c･↑a + (1/54)↑c･↑b + |(1/9)↑c|^2
　　　　　　= 4 - 2/3 - 2/3 - 2/3 + 4/9 + 2/9 - 2/3 + 2/9 + 4/9
　　　　　　= 4 - 8/3 + 12/9
　　　　　　= 8/3
より
　　|↑AQ| = √(8/3) = 2√6 /3

従って、体積は
　　V = (1/3) * △OBC * |↑AQ| = (1/3) * 6√3 * 2√6 /3 = 4√2


（注）計算違いがあるかもしれません。