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y=f(x)と y′=f′(x)と dy/dxと d/dx f(x)では何が違うのでしょうか?
・全部同じ意味ですか?

「y=f(x)と y′=f′(x)と dy」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    それぞれどういう意味ですか?
    下記で合っていますか?

    y=f(x)
    ・yはxに関する関数
    ・これは微分ではなく前提条件?

    y′=f′(x)
    ・yをxについて微分
    ・これは微分

    ・dy/dx
    ・yをxについて微分
    ・これは微分
    ・上と全く同じ意味

    d/dx f(x)
    ・f(x)をxについて微分
    ・yはどこにいったのでしょうか?
    ・これは微分
    ・上と全く同じ意味

    つまり、下記のような感じですか?
    y=f(x)のとき、微分する書き方は3通り合って全部同じ意味。書き方が違うだけ??
    ・y′=f′(x)
    ・dy/dx
    ・d/dx f(x)

      補足日時:2018/06/26 09:12

A 回答 (4件)

No.1です。

「補足」に書かれたことについて。

>つまり、下記のような感じですか?
>y=f(x)のとき、微分する書き方は3通り合って全部同じ意味。書き方が違うだけ??

はい、そうです。

>d/dx f(x)
>・f(x)をxについて微分
>・yはどこにいったのでしょうか?
>・これは微分
>・上と全く同じ意味

>・yはどこにいったのでしょうか?

 y=f(x) ですから、単純に
  df/dx = dy/dx
です。
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この回答へのお礼

再度の回答ありがとうございました
大変参考になりました

お礼日時:2018/06/28 09:42

>もし


> y = f(x)
>で
> dy/dt
>を求めたいのであれば、そうはなりません。
> dy/dt = df/dt = (df/dx)(dx/dt) = (dy/dx)(dx/dt) = y'(dx/dt)
>などになります。

いや、本来、独立変数に t を持たない y を t で微分できません。

物理では時間だけの関数ではない関数 f があるとき
df/dt は暗黙のうちに全ての f の独立変数を t の関数とみなした
新たな合成関数を微分することを意味します。

本当は
d(f◦x)(t)/dt = df(x')/dx’・dx/dt
で f◦x ≠ f ですが、同じ記号を使っても混乱しないので
同じ記号を使ってしまいます。

しかしこれを初学者に何の解説もなく伝えてしまうと
混乱を引き起こします。注意が必要です。最初は厳密の方がよいです。
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No.1 です。



「この場合に」と書いたのは、y が x を変数とした関数として表され、微分も「x で微分する」ということが明白だからです。

もし
 y = f(x)

 dy/dt
を求めたいのであれば、そうはなりません。
 dy/dt = df/dt = (df/dx)(dx/dt) = (dy/dx)(dx/dt) = y'(dx/dt)
などになります。
場合によっては、この dy/dt のことを
 y' = dy/dt
と書くかもしれません。そうすると
 x' = dx/dt
なんかも登場するかもしれません。

「何が何の関数で、何で微分するのか」ということで、関係式の書き方が変わります。
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この場合には同じです。

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Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Qd/dx・f(x)=g(x)の両辺にdxをかけたらd・f(x)=dx・g(x)になる?

d/dx・f(x)=g(x)の両辺にdxをかけたらd・f(x)=dx・g(x)になるのでしょうか?
左辺も右辺も何か変な感じがしますが。
それとも、d/dxってひとまとまりなんでしょうか?

Aベストアンサー

あなたがどの段階での数学を知ってるかに依存します.
高校から大学初年くらいでしたら
d/dx は微分を表す記号だと思って「ひとかたまり」だと
思うほうがよいです
ただし,こういう分数の形にしてあるのは
積分を扱うときに置換積分の公式が覚えやすくなるからです.

数学専攻,もしくは数学を専攻しようというように思ってるなら
df/dx は「分数」と同じようなものだと思っておいた方が
よいかもしれません.
「微分形式dx」と「外微分d」と呼ばれるものが定義され
これに対していろいろやっていくんですが,
関数fに対して外微分 d を作用させるというのを
df = f' dx と定めます.
したがって,f' = df/dx = g ならば df =g dx という
計算が成立します.

微分係数の「係数」というのは df = f' dx で
「微分」形式dxの「係数」が f' だという風にも
解釈できます.

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qyとf(x)の違いについて

ずいぶん初歩的な質問ですみません。
y=…とおくのとf(x)=…とおくのとでどのような違いがあるのかよくわかりません。
2変数関数の時はf(x,y)=…とおかなければならないとは思うのですが。。。

Aベストアンサー

極端に言うと

y=f(x)

f(x)=x+2x^2・・・

とあったとして、yは答えだけ。f(x)がx+2x^2・・・どんな関数であるかなんてことはどうでもよい。答え(計算結果)がどうなっているかが重要。

f(x)は過程が大事。答えが分かっても意味がない。x+2x^2・・・どんな関数であるか?どんな値を代入するのか?と言ったことが重要。

あなたが何を求めるのか?
何か物を作るときに計算を利用しているだけか?(必要なのは計算結果)
学問として計算を使用しているか?(必要なのは結果より過程)


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