物理学の電磁気についてです

アンペールの法則を用いて、無限に長いソレノイドの内部には、大きさB＝μ_0nIの一様な磁場が生じることを示す方法を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/07 09:43

訂正です。

大嘘でした。

コイルの中心軸を含む平面による切断面を見ると、図２のようになります。⦿、☮はコイルを形成する電線の断面を表し、⦿は電流が紙面裏側から表側に、☮は電流が紙面表側から裏側に流れていることを表します。
先ず言えることは、中心軸上の磁界H0は、コイルが螺旋状でことから対称性より、明らかに場所に依らず一定となります。
図1において、二つの電線を端点とする線分の垂直2等分線上の矢印方向の磁界H,H’は明らかに０となります。矢印の位置が右か左に寄ると対称性が崩れ、この図では、H=H’=0とはなりませんが、ここで言うソレノイドとは密に巻かれているものを指すと思います。図２で言えば、電線が接触したような状況（電線は当然エナメルなどの絶縁材料で被覆されています）で巻かれている、さらには2層、3層に巻かれているものを想定しています。もっと理想的には、断面が正方形（長方形でも可）である電線が密に巻かれているものを想定しています。このような状況では、明らかにどこでも上下方向の磁界H=H’=0となります。
ここで、図3に示す二つの矢印(H1とH1)を含む横幅Lの長方形を時計回りに一周する積分路を考えます。
上述したように、長方形の縦の辺上の磁界は０ですから、
H1L＋H1L＝ｎLI
H1＝nI/2となります。これは、電線からの距離には関係しません。この性質が重要。
次に、図2を考えます。下側（ソレノイドの外部）のHは☮によるnI/2と⦿による‐nI/2の和となり、
H=0
となります。
二つの矢印(HiとH )を含む横幅Lの長方形を時計回りに一周する積分路を考えます。長方形の縦の辺上の磁界は左右とも０ですから、
HiL+HL=nIL
H=0だから、Hi=nI
となります。
次のように考えることもできます。Hiは☮によるnI/2と⦿によるnI/2の和となり、Hi=nI
となります。
B=μ0nI
上の議論より、この値は、Hiの位置が上下左右に移動しても変わらないことが分かります。
したがって、密に巻かれたソレノイドの内部の磁界はどこでも同じとなります。特に、中心軸上の磁界H0は、疎に巻かれたソレノイドにおいても場所に依らず一定となります。
どこにも断っていませんが、「密に巻かれた」が重要だと思います。

ソレノイド外部の磁界H=0（図3の結果を使用）を結論付けるのとHi=nI（これは図3の結果より既知）を結論付けるのは同じことですね。したがって、ソレノイド外部の磁界H=0であるから、としてアンペールの法則を使ってHiを求める方法は少し変な気がします。ただし、「ソレノイド外部の磁界H=0を既知として求めよ。」でしたら、全く問題ありませんがね。

余談ですが、私も学生の時疑問に思いました。「密に巻かれた」が言外にあるのだと理解しました。今回勉強させてもらいました。
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　←H
　　H’　　　　　　　　　　　　⦿　⦿　⦿　⦿ ⦿ ⦿ ⦿ ⦿　　　
　　↓
　　H　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Hi　→
☮　↓　☮　　　　　　　　　　☮　☮　☮　☮ ☮ ☮ ☮ ☮ ☮
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　←H　
　図1　　　　　　　　　　　　　　　　　図2

　　　　　　　　H1→
・・・・・☮☮☮☮☮☮☮☮・・・・
　　　　　　　　　←H1
　　　　　図3

　　 　　　 

No.1 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/06 21:54

コイルの中心軸を含む平面による切断面を見ると、下図のようになります。

⦿、☮はコイルを形成する電線の断面を表し、⦿は電流が紙面裏側から表側に、☮は電流が紙面表側から裏側に流れていることを表します。ソレノイドの外側に磁界が発生すると仮定すると、右ねじの法則とコイルの対称性より、同じ大きさの磁界が矢印の方向に発生します。
ここで、二つの矢印(HとH )を含む横幅Lの長方形を時計回りに一周する積分路を考えます。

HL+∫Hds＋HL＋∫Hds＝ｎL－ｎL＝0
dｓは積分路上の積分方向の微小長さを表しています。
第1の積分と第2の積分は相殺します。
（何故ならば、長方形の縦の辺を上から下に向かっての積分を∫Hdsをで表せば、
逆に下から上に向かっての積分は‐∫Hdsとなるからです。）
HL＝0となり、H＝0となります。
次に、二つの矢印(HiとH )を含む横幅Lの長方形を時計回りに一周する積分路を考えます。
長方形の縦の辺上の磁界は左右とも同じです。
しかし、積分方向は右の辺では上から下に、左の辺では下から上に向かっていますので、これらの積分は相殺します。
HiL+HL=nIL H=0だから、
Hi=nI
B=μ0nI
上の議論より、この値は、Hiの位置が上下に移動しても変わらないことが分かります。
したがって、ソレノイドの内部の磁界はどこでも同じとなります。
　　　　
　　　　　　H→
⦿　⦿　⦿　⦿ ⦿ ⦿ ⦿ ⦿

　　　　　　Hi　→
☮　☮　☮ ☮ ☮ ☮ ☮ ☮
　　　　　　　　←H

この回答へのお礼

わざわざありがとうございます。

お礼日時：2018/07/26 23:11