【構造力学】相反作用の問題について

【構造力学】相反作用の問題についての質問

構造力学の相反作用における下記問題の解説において、下記①の箇所が理解できないので御教授お願いします。

【問題】
　図Ⅰ(添付図参照)のように、短Bで支持されている長さℓ、曲げ剛性EIの梁ABの中央に荷重Pをかけた。このとき、固定端Aにおけるモーメント反力の大きさM(A)を求めよ。
　ただし、梁の自重は無視する。
　なお、図Ⅱのように、長さℓ、曲げ剛性EIの片持梁CDの先端に荷重Pをかけたときの、自由端Dにおけるたわみδ(D)、たわみ角θ(D)はそれぞれ δ(D)=Pℓ³/3EI 、 θ(D)=Pℓ²/2EI である。

【解説】
図Ⅱにおいて、固定端から1/2の点をE点として変位δ(E)を求めると、
EI・(d²v/dx²)=P(ℓ－x)
EI・(dv/dx)=Pℓx－(1/2)・Px²+C₁
EI・v=(1/2)・Pℓx²－(1/6)・Px³+C₁x＋C₂
境界条件より、C₁=C₂=0なので、
v=(Px²/6EI)・(3ℓ－x)
δ(E)=5Pℓ³/48EI

相反作用の定理より、
Pδ(E)=R(B)δ(D)　・・・・・・①
だから、R(B)=5P/16
つりあい式よりＡ点での曲げモーメントは、
M(A)+(1/2)・Pℓ－(5/16)・Pℓ=0
M(A)=－(3/16)・Pℓ
となり、モーメント反力の大きさは、(3/16)・Pℓとなる。

【不明な点】
Pδ(E)=R(B)δ(D)　・・・・・・①
上記式①において、「ベッティの相反作用」を適用した場合、荷重作用点と変位点の関係を考えると、式①が理解できません。
D点、E点における荷重とたわみをP(D)、δ(D)、P(E)、δ(E)とし、相反作用の法則をすると以下の式が成り立つと思います。
P(D)δ(E)＝P(E)δ(D)…②
しかし式① Pδ(E)＝R(B)δ(D) は上記式②にあてはまらないので、式①の成り立ちがいまいちわかりません。

※該当する質問分野がわからなかった為、複数の分野で投稿しています。

No.1 ベストアンサー 回答者： han-ka-2 回答日時： 2018/07/10 16:05

解説が言葉足らず，あるいは，すっ飛ばしすぎなのでは？

　まず下の図の場合，点 D に P を与えたときの梁先端 D のたわみは
δ(D) です。そして，中央 E のたわみが δ(E) です。とすると，
相反定理によって，中央点 E に P を与えたときの先端 D のたわみは
δ(E) と同じ値になります。ここが相反定理。

　ここで上の図の不静定梁に戻ります。支点反力に相当する R を
右端に載せたときの右端のたわみ δ(B) は，線形問題なので，
　δ(B) = δ(D) x R / P
でいいですよね。そしてこの不静定の梁では右端はたわみがゼロです
から，中央の P による先端のたわみ δ(E) と，この R による先端の
たわみ δ(B) が等しくないといけません。したがって
　δ(B) = δ(E) -> δ(D) x R / P = δ(E) -> P δ(E) = R δ(D)
となります。この最後の式は，右端が支えられているからたわまないと
いう，幾何学的な制約条件で，これそのものは相反定理ではありませんが，
上のように，相反定理を用いています。しかし，この解説，δ(E) の
求め方が問題の題意を無視しています。問題の後半の情報 δ(D) と
θ(D) から δ(E) は簡単に計算できて
　δ(E) = δ(D;l/2 の梁) + θ(D;l/2 の梁） x (l/2)
　　　　= P/(3EI) (l/2)^3 + P/(2EI) (l/2)^2 x (l/2) = 5Pl^3/(48EI)
ですから，微分方程式なんかは解く必要はありません。

この回答へのお礼

han−ka−2さん

非常にわかりやすいご説明を有難うございます。
おかげさまで理解できました。
長文でご回答頂いているので、回答作成に時間がかかったのではないでしょうか。
また、δ(E)の簡易な計算方法まで教えていただいた事に合わせて感謝します。

問題、解説に関しては参考書に書かれている内容をそのまま質問に挙げました。
「公務員試験 技術系スーパー過去問ゼミ 土木」という教材で、所々解説がかなり省かれています。。。

お礼日時：2018/07/11 10:13